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Betrachten wir zunächst das erste Verhältniß, und nehmen zu der aus der sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind. Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältniß der Koordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung.
De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus. Vgl. Salmon-Fiedler, Höhere ebene Kurven, 5. Kap. Phil. Trans. 1857; Liouvilles Journ. 9, 10. Journ. für Math. 42. Zeitschr. f. Math. 17; Prager Ber. 1871. Giorn. di Matem. 2. Journ. für Math. 90. Prager Abh. Göttinger Nachr. 1871 und 1872. Journ. für Math. 78. Hierzu Harnack, Math. Ann. 9.
Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer Kindheit befinden.
Und wie könnte ich es unterlassen, einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen, welche Cremona und Sturm studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf die wichtigen Probleme, die von Clebsch und seinen Schülern über die rationalen, elliptischen und hyperelliptischen Kurven gelöst sind, und die eleganten Eigenschaften, welche Bertini an den rationalen Kurven fünfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl bei denjenigen, deren Punkte auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, während die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse berühren?
Er fuhr, daß Maud an den Kurven sich hielt, um nicht hinauszufliegen. Fast träumerisch lagen ihre Augen, ihre Glieder entspannten sich in einer weichen Gegebenheit, ihre Blick suchte das Steuer immer, das er führte, suchte den Mond, der lilienweiß im Tag noch stand, ging die Normandieküste nach Süden hinunter und fiel wieder auf seine Hand.
Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin, von Sylvester, Cayley, Salmon, Durège, Cremona, von Sturm, von Küpper, Graßmann, Milinowski und von anderen über die Kurven dritter Ordnung, die Kapitel des Barycentrischen Calculs, dann verschiedene Arbeiten von Em.
Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von Clifford ansehen: On the classification of loci, in welcher das allgemeine Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven Geometrie zu machen pflegt.
Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.
Die Geometer erwarten ungeduldig die Veröffentlichung einer Schrift von E. Kötter, die 1886 von der Berliner Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen Kurven zu versetzen.
Wo alles quoll, wo alles pulsierte, sowohl in ihm, als um ihn herum, wußte Francesco den Platz des Todes nicht auszumitteln. Er berührte den Stamm eines Kastanienbaums und fühlte, wie er die Nahrungssäfte durch sich empordrängte. Er trank die Luft wie eine lebendige Seele ein und wußte zugleich, daß sie es war, der er das Atmen und Lobsingen seiner eigenen Seele verdankte. Und war sie es nicht allein, die aus seiner Kehle und Zunge ein sprechendes Werkzeug der Offenbarung machte? Francesco verzog vor einem wimmelnden, eifrig tätigen Ameisenhaufen einen Augenblick. Eine winzige, kleine Haselmaus war von den rätselhaften Tierchen fast ganz von ihrem grazilen Skelett präpariert worden. Sprach das köstliche, kleine Skelett und die in der Wärme des Ameisenstaates untergegangene und verschwundene Haselmaus nicht von der Unzerstörbarkeit des Lebens, und hatte nicht die Natur in ihrem Bildnerdrang oder Zwang nur die neue Form gesucht? Der Priester sah, diesmal nicht unter sich, sondern hoch über sich, wiederum die braunen Fischadler von Sant Agatha. Ihre beschwingten und gefiederten Körper trugen das Wunder des Bluts, das Wunder des pulsierenden Herzens in majestätischer Wonne durch den Raum. Aber wer mochte verkennen, daß die wechselnden Kurven ihres Flugs auf die blaue Seide des Himmels eine deutliche unverkennbare Schrift zeichneten, deren Sinn und Schönheit aufs engste mit Leben und Liebe verbunden war. Francesco war nicht anders zumut, als ob ihn die Vögel zum Lesen aufforderten. Und wenn sie mit der Bahn ihrer Flüge schrieben, so war ihnen auch die Kraft des Lesens nicht versagt. Francesco gedachte des weittragenden Blicks, der diesen geflügelten Fischern beschieden ward. Und er gedachte der zahllosen Augen der Menschen, der Vögel, der Säugetiere, der Insekten und Fische, mit denen die Natur sich selbst erblickt. Mit einem immer tieferen Staunen erkannte er sie in ihrer unendlichen Mütterlichkeit. Sie sorgte dafür, daß ihren Kindern nichts im allmütterlichen Bereich ungenossen verborgen blieb: sie waren von ihr nicht allein mit den Sinnen des Auges, des Ohrs, des Geruches, des Geschmackes und des Gefühls begabt worden, sondern sie hatte, wie Francesco fühlte, für die Wandlungen der