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Aktualisiert: 24. Juli 2025


Zuerst will ich mich mit der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich mich mit den Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen überzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schließen.

Es war aber ein Trick von mir, ich beunruhigte ihn dadurch. Er kroch auf den Leim und machte Kurven. Dies nützte ich aus und kam etwas näher heran. Schnell versuchte ich dasselbe Manöver nochmals und zum drittenmal. Jedesmal fiel mein Freund darauf ’rein. So hatte ich mich sachte an ihn herangeschossen. Nun bin ich ganz nahebei.

Es scheint aber nicht, daß man diese dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die kubische Kurve bezüglichen als die Grundlage zu einer allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr muß man dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren betrachten, die man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht.

Aber ich habe mich über so viel getröstet, daß mir auch das keinen Kummer mehr machtSie kreisten in schwingenden Kurven nach dem Ufer zurück. »Ich denke mirbegann Gunther von neuem, »daß es Ihnen zuweilen recht einsam auf dem Baronshof werden muß. Die Umgegend bietet meines Wissens nicht allzuviel Verkehr.« »Nein, sehr wenig. Papa ist das recht, – er ist ein Fanatiker der Einsamkeit.

Sein Gesicht wird derart mit Spannung und Ladekraft überhäuft, daß es ungemein angezogene Kurven erhält. Im molluskenhaften Urnebel Däublerscher Sprache vollzieht sich der Bennsche Vorgang wie Kristallisieren, Eckenbekommen, geometrische Schlagkraft des Ewigkeitsausdrucks.

Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von Caporali über die dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest, in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.

Theorie der ebenen Kurven. Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gründe für die Thatsache anzugeben, daß das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem Zeitpunkte verzögert hatte.

Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen von gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für angemessen, bei diesen eine Zeit lang zu verweilen. Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das Altertum.

Wir wollen noch bemerken, daß zwischen den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen.

Journ. für Math. 8, und Aufgaben und Lehrsätze aus der analytischen Geometrie der Ebene, 1833. Torino Mem. 1862. Grunerts Arch. 7. Zeitschr. f. Math. 11. Liouvilles Journ. 10, 12. Zwei Kurven, welche denselben Grad haben, gehören zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch nicht von großer Wichtigkeit zu sein.

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