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Bei dem Studium der Abbildung einer Oberfläche bietet sich von selbst eine wichtige Frage dar, nämlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflächen sich als Punkt für Punkt einander entsprechend darstellen lassen.
Während es ihnen ob der tiefen Lage des Flußbettes, aus dem nur hie und da der weißliche Sand und die hellen Felsenblöcke undeutlich herausschimmerten, nicht möglich war, in diese Mulde zu dringen, beschienen sie hell die riesigen Felsenplatten und Massen aufgetürmter Felsenblöcke am linken, jenseitigen Ufer, aus denen an verschiedenen Stellen die erleuchteten Oberflächen der klaren, natürlichen Felsencisternen nach allen Seiten riesigen Diamanten gleich funkelten.
Und da man leicht erkannte, daß die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man natürlich auf die andere Frage geführt: Welche Oberflächen lassen sich eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflächen kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden?
Dann lasse ich die Oberflächen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit außerordentlichem Scharfsinne von Kummer bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei besonderer Erwähnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen gewesen sind: die Oberfläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt und die römische Fläche von Steiner.
Bei Plastiken Rodins sind die Oberflächen noch zerrissen, jede Linie, jede Gebärde noch orientiert nach einem Affekt, einem Moment, einer einmaligen Handlung, kurz: eingefangen in dem Augenblick, und bei aller Kraft doch unterworfen einer psychologischen Idee. Einer denkt, zwei andere küssen sich. Es bleibt ein Vorgang. Aber die Figur wird typisch, nicht mehr.
Die Erfolge bewirkten, dass die Wrights, die ursprünglich das Fliegen nur als Sport betrachteten, nunmehr wissenschaftlich die einschlägigen Fragen zu lösen versuchten. Sie bauten sich mehrere Modellmaschinen für Winddruckmessungen und machten eine grosse Reihe von Versuchen mit den verschiedensten Oberflächen, die unter einem Winkel von 0-45° in Intervallen von 2-1/2 Grad eingestellt waren.
Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.
Von derselben Art, aber allgemeiner, sind die Studien von Christoffel über die Bestimmung der Gestalt einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von Lipschitz über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.
»Sehr selten,« erwiderte Goethe. »Es gibt zwar viele, die fähig sind, über alles sehr geschickt mitzureden; aber sie haben es nicht im Innern und krabbeln nur an den Oberflächen. Und es ist kein Wunder, wenn man die entsetzlichen Zerstreuungen und Zerstückelungen bedenkt, die das Hofleben mit sich führt und denen ein junger Fürst ausgesetzt ist. Von allem soll er Notiz nehmen.
Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. Abzählende Geometrie. Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.