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Aktualisiert: 15. Juni 2025
Mehres hierüber findet man in meiner »Allgemeinen Darstellung der Oberflächen der Weltkörper unseres Sonnengebietes. Aber wie furchtbar, wie grausenvoll müssen solche große mächtige Naturscenen, welche nicht allein das Innere der Erde erschüttern, hier und da die Felsenmassen zertrümmern und die Ebenen verwüsten, sondern auch die lebende Schöpfung in einem Nu in ein Nichts verwandeln, sein!
Zuletzt erwäge man, dass selbst der Erkennende, indem er seinen Geist zwingt, wider den Hang des Geistes und oft genug auch wider die Wünsche seines Herzens zu erkennen nämlich Nein zu sagen, wo er bejahen, lieben, anbeten möchte , als Künstler und Verklärer der Grausamkeit waltet; schon jedes Tief- und Gründlich-Nehmen ist eine Vergewaltigung, ein Wehe-thun-wollen am Grundwillen des Geistes, welcher unablässig zum Scheine und zu den Oberflächen hin will, schon in jedem Erkennen-Wollen ist ein Tropfen Grausamkeit.
Gleichzeitig fand Moutard dieselbe Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich entfernte imaginäre Kugelkreis ist, und er bemerkte weiter gleichzeitig mit Darboux, daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben Art, gehören kann.
Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von Minding in enger Beziehung, in der zum ersten Male die Frage aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung.
Möge es mir gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, daß der berühmte Cremona, dessen Interesse für die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist, seine berühmten Schriften über die Theorie der Kurven und Oberflächen durch neue Ausgaben allen zugänglich machen wolle. Journ. für Math. 58, 64. Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie. Math. Ann. 7.
I. n. XII. ff. wie schon in der Geometr. Geom. Die von diesem gemachte Schwierigkeit bezieht sich ebenfalls darauf, welche Linie und zwar bei Berechnung konischer und sphärischer Oberflächen als Grundmoment der Bestimmung für die auf Anwendung des Diskreten gestützte Betrachtung genommen werden solle.
Die erste Form, weil sie die unmittelbare ist, ist sie die abstrakte des Verstandes, und das Werk noch nicht an ihm selbst vom Geiste erfüllt. Die Kristalle der Pyramiden und Obelisken, einfache Verbindungen gerader Linien, mit ebnen Oberflächen und gleichen Verhältnissen der Teile, an denen die Inkommensurabilität des Runden vertilgt ist, sind die Arbeiten dieses Werkmeisters der strengen Form.
Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von Flächen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflächen, die nicht singuläre Linien enthalten, sondern nur singuläre Punkte. Eine solche Oberfläche ist zu sich selbst dual.
Daher sehen wir denn auch die Forschungen über die Oberflächen bald denen über die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.
Münster i. W., Ende Mai 1888. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung 1 I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3 II. Theorie der ebenen Kurven 21 III. Theorie der Oberflächen 31 IV. Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. Abzählende Geometrie 60 V. Theorie der Kurven doppelter Krümmung 71 VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80
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