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Aktualisiert: 24. Juli 2025
II, 2, Mém. prés. 26; J. S. Smith, Proc. math. Soc. 6; Brill, Math. Ann. 16; Raffy, das. 23. An diese Frage knüpft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Zeuthen, Acta math. 1. Journ. für Math. 40; vgl. Journ. für Math. 36, 40, 41. Phil. Mag.
Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide gezeichneten Kurven anführen, für welche Chasles das Fundament gelegt hat, und die von unserem Cremona so sehr bereichert ist.
Alles zitterte und bebte auf den Feldern und Wiesen: die Halme der Gräser und des Getreides, das Insektengetier in den Lüften, die Dächer ferner Hütten und die Eisenschienen der Bahn glitzerten an den Kurven so sehr, als seien sie nahe daran, Feuer zu fangen. Tarnow erschrak fast vor all dem Leben in Flammen. Er dachte: nun, heuer wird man guten Wein haben.
Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von denjenigen, die für die ebenen Kurven angewandt werden. Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der übrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr große Schwierigkeiten.
Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, von Nöther erhalten; dieser gelangte durch eine überaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben auf einem Kegel.
Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. Abzählende Geometrie. Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.
Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, Plücker, Salmon eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie.
Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu Halphen und Nöther wenden, deren Abhandlungen , im Jahre 1882 von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: »alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele andere von nicht geringer Bedeutung.
Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rektangel, ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der Abscisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abscisse gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne integrirt, daß das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes Elements der Ebene gebe.
Dieser gewöhnte sich bei Harri an das Nichtmitreißbare. Gegenseitig liebten sie ihre Kühle und Distanz, die bei dem einen das unentrinnbare Erlebnis des Todes geformt, bei dem anderen sein Durchmarsch durch solch unvorstellbare Kurven der Kühnheit des Geistes und der Gefahr, daß er die Welt nicht verachtete, sondern sie jenseits des Zynischen schon wieder verstand.
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