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Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen von Cremona und Nöther, sowie die ihnen folgenden von Armenante, Klein, Korndörfer, Caporali und von noch anderen im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl außerordentlich vermehrt.
Wenn einerseits Nöther die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in den Comptes rendus und an anderen Stellen ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Nöther, Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie enthalten sind, und in derjenigen, in welcher Nöther streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von Halphen unumgänglich notwendig war.
Voß studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genügen; Nöther, Klein und Caporali beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewöhnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller Komplexe; Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht; Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.
Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, von Nöther erhalten; dieser gelangte durch eine überaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberfläche, welche eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthält, zu einer Abbildung derselben auf einem Kegel.
Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu Halphen und Nöther wenden, deren Abhandlungen , im Jahre 1882 von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: »alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele andere von nicht geringer Bedeutung.
Es ist wahr, daß Brill und Nöther in einer Abhandlung, deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von Clebsch zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines Hilfsmittels vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Edidit Schröder, 1835. S. auch eine Abhandlung Plückers, Liouvilles Journ. 1. Mém. prés. 1730-31-32. Hierzu siehe Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, S. 352; Malet, Hermathema, 1880; Pellet, Nouv. Ann. Cayley, Quart. Journ. 7 und Journ. für Math. 64; La Gournerie, Liouvilles Journ. II, 14; Nöther, Math. Ann. 9; Zeuthen, das. 10; Halphen, Comptes rendus 78, Liouvilles Journ.