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Journ. für Math. 98. Vgl. auch 95 und 97. Liouvilles Journ. 4. Die Geometrie der Lage, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von Reye in dem Journ. für Math. veröffentlichten synthetischen Arbeiten über die Geometrie der Geraden vereinigt finden. Zeitschr. f. Math. 20. Ann. 15. Giorn. di Matem. 17; Lincei Rend. 1879. Torino Atti, 1881. Journ. für Math. 91, 92, 93, 94, 95, 97.
Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere Theorie von Chasles studiert schon 1839 , von Reye, von Silldorf, Schur, Bertini, von d'Ovidio und von W. Stahl; Buchheim bediente sich der Quaternionen, um die hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von Mannheim, Lie, Klein, Picard und Königs gelöst wurden.
Ferner will ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche Poncelet, Chasles, Cremona, Reye, Paul Serret, Laguerre, Milinowski und viele andere über die Raumkurven vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, die sie für die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, Harnack, Lange, Westphal, Léauté u. s. w.
Journ. für Math. 75 und 76. Wir können hinzufügen, daß Reye im Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner Geometrie der Lage, der vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einführt, indem er sie als die Jacobischen Kurven von Kegelschnittnetzen auffaßte. The Messenger of Mathematics II, 6. Irish Trans. 1875. Math.
Allgemeine Untersuchungen auf diesem Gebiete haben wir jedoch keine außer den wenigen, die in einer kurzen Arbeit von Reye aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen über die doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.
Jacobi und später Reye beschäftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen entstehen. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.
Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die mit großem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es unserem Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen.
Voß studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genügen; Nöther, Klein und Caporali beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewöhnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller Komplexe; Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht; Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.
Über diese haben Möbius und Chasles verschiedene sehr schöne Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten sich mit solcher Schnelligkeit, daß Staudt binnen kurzem die vollständige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht, feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz, Joachimsthal Cremona, Schröter, Reye, Emil Weyr, Sturm, Hurwitz, welche nicht allein die Aufstellung einer vollständigen synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain für die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio und Pitarelli gemacht haben.
Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich Reye und Segre beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen gemacht. Aschieri übertrug eine spezielle ebene zweifache Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte auch die Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus.