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Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Plücker, Chasles und Cayley für das Studium der Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von Clebsch und Cremona für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer Flächen vorgeschlagen sind.
Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit langer Zeit bekannt; schon Bellavitis hatte denselben in der vorher angeführten Abhandlung besprochen; er erklärt die Benennung unicursal, die von Cayley den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch heute gebraucht wird. Gesammelte Werke 2, S. 433. Math. Ann. 12, 13; Leipziger Ber. 1884. Math. Ann. 6. Annali di Matem. II, 5 und 7. Math.
Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen, welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die Untersuchungen von Cayley und anderen, welche zu dem Schlüsse geführt haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.
Indem ich die Oberflächen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley sich beschäftigt hat, übergehe, will ich noch die Monoide erwähnen, die von Rohn studiert sind, und diejenigen Flächen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden enthalten.
Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur diejenigen von Bouquet, A. Serret, Bonnet, Catalan, Moutard, Darboux, Cayley, Ribaucour, Weingarten, Schläfli, Hoppe, Bianchi und Molins nennen will.
Poncelet bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche und eröffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen Salmon und Cayley die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche Plücker durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.
Die ersten allgemeinen Resultate über die Kurven doppelter Krümmung verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet hat. In der anderen führte er für das Studium der Raumkurven von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flächen ein, welche er »Monoide« nannte.
An die erste Stelle will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten Grades; jene wurde von Poncelet und Chasles untersucht, diese von demselben Chasles, von Cayley und vollständiger von Cremona.
Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der Königlichen Gesellschaft zu London von dem großen deutschen Geometer gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen; die Beweise derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley aufgestellt hatte, um vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume darstellen zu können.
Liest man die wenigen Seiten, welche die Abhandlung von Cayley bilden, so gewinnt man die Überzeugung, daß er schon 1846 einen klaren Einblick von der Nützlichkeit hatte, welche der gewöhnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren Dimensionen bringen könne. Histoire de l'astronomie moderne 2, S. 60. Phil. Trans. 1878 oder Mathematical Papers S. 305. Math. Ann. 19.