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Aktualisiert: 27. Mai 2025
Gerade die Schärfe und analytische Eleganz, welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe; das glänzende und überraschende Resultat, daß die Sätze der Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflächen mit konstanter negativer Krümmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch auf diejenigen, welche jeder nicht durch das Experiment bewiesenen Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen Anschauungen; endlich die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer wissenschaftlichen Philosophie und die glänzende Form, in welcher die Abhandlung geschrieben ist, ließen und lassen noch bei allen eine lebhafte Bewunderung für unseren berühmten Landsmann entstehen, durch dessen Bemühung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.
Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von F. Klein, die auch von großer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte rückwärts wenden.
Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr reich an Forschungen auf diesem Gebiete; es hat den Anschein, als wenn jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen könnte, und durch welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei.
Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, wie neuere Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der Maßgeometrie, welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms entworfen werden kann und die zur Zeit unter dem Namen der Nicht-Euklidischen Geometrie vielfach besprochen und disputirt wird.
Zuerst will ich mich mit der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflächen beschäftigen, dann, nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen und über die abzählende Geometrie, werde ich mich mit den Studien über die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen überzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schließen.
Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß Gauß ausgedehnte und bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; vgl. Sartorius von Waltershausen, a. Math. 28. Annali di Matem. II, 2 und 5. Journ. für Math. 65; Annali di Matem. Journ. für Math. 83. Amer. Journ. 2. Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig, 1885. Math. Ann. 27.
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