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Aktualisiert: 22. Mai 2025
Jedoch glaube man nicht, daß diese Sätze von Halphen die Resultate zerstören, welche man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben glücklicherweise meistenteils unabhängig von dem fraglichen Theorem, und für die anderen Fälle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muß. Theorie der Kurven doppelter Krümmung.
Voß studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genügen; Nöther, Klein und Caporali beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewöhnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller Komplexe; Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht; Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.
Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von Halphen gegeben, Bull. Soc. math. 5. »Von anderen wird es löblich sein zu schweigen, Weil allzukurz die Zeit für die Erzählung.« Dantes Göttliche Komödie; Die Hölle, 15. Gesang, Vers 104-105. Beiträge zur Geometrie der Lage, 3. Grunerts Arch. 10. Journ. für Math. 56. Journ. für Math. 58, 60, 63; Nouv. Ann. II, 1; Annali di Matem.
Wenn einerseits Nöther die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in den Comptes rendus und an anderen Stellen ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Sätze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Nöther, Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie enthalten sind, und in derjenigen, in welcher Nöther streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von Halphen unumgänglich notwendig war.
Darboux, Clebsch, Lindemann, Hurwitz und Schubert, sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse.
In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flächen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls Halphen entdeckt hat.
Caporali, Lincei Atti, III, 1; Folie und Le Paige, Mémoires de l'Académie de Belgique, 43. Halphen, Math. Ann. 15; Bull. Soc. math. 9. Siehe Giorn. di Matem., Lombardo Rend., Math. Ann., Wiener Ber. und Prager Ber. Journ. für Math. 47; Comptes rendus, 1871. Journ. für Math. 53. Güßfeldt, Math. Ann. 2; Laguerre, Bull. Soc. math. 7; Cremona und Clebsch, Journ. f. Math. 64; Kiepert, Zeitschr. f.
Nach diesen Arbeiten müssen wir, um einen wirklich bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, welche uns beschäftigt, zu finden, uns zu Halphen und Nöther wenden, deren Abhandlungen , im Jahre 1882 von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekrönt, die Grundlage für eine allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: »alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen«, »anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberfläche giebt« und noch viele andere von nicht geringer Bedeutung.
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