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Aktualisiert: 1. Juni 2025
Chasles selbst entdeckte alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im Raume und auf die Flächen zweiter Ordnung.
Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschließen, indem ich noch einige Oberflächen von höherer als der vierten Ordnung anführe, welche die Gelehrten schon beschäftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen Oberflächen erwähnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles, Salmon, Cayley, von Plücker, La Gournerie (1814-1883), Voss und im besonderen von Chasles, Cremona, Schwarz, La Gournerie (Regelflächen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind), von Clebsch, Armenante (rationale und elliptische Regelflächen), von Em. Weyr (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr (Oberflächen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt und Chizzoni (Regelflächen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflächen sind, doch Gerade enthalten und die von Sturm und Affolter untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflächen, bei welchen Geiser und Lie bemerkenswerte Eigentümlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flächen nennen, die aus einer Oberfläche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Krümmungscentren; Fusspunktflächen, Aspidalflächen etc.), sowie die
Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem Schlafe gerüttelt, in welchen die einschläfernden Arbeiten der Schule der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete einen neuen Übergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach Deutschland. In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie Möbius (1790-1868), Steiner (1796-1863), Plücker (1801-1868) und von Staudt (1798-1867) die analytische Geometrie sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und die abgekürzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie Hilfsmittel erwerben für das Studium, der Kurven und Oberflächen, die bis dahin für dieselbe unerreichbar waren, sowie für die Gründung einer reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhängig ist von dem Begriffe des Maßes. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit gegründeten Journal , das bald zu verdientem Rufe gelangte, vorzüglich durch die Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners verbreiteten sich die eben angeführten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Größen eine zahlreiche und glänzende Anzahl von Schülern, welche, indem sie
Spaßiger aber seiner würdiger Schmuck auf dem Ornat des Papstes." Im ersten Bande von Stendhals Novellen 'Eine Geldheirat' sind folgende Versehen zu korrigieren. S. 371, letzte Zeile, haben die Neuausgaben von Contes bruns zu heißen: Phil. Chasles und Ch. Rabou. Auf S. 372: Le Mari d'argent ist zuerst gedruckt in den Nouvelles Inédites 1855.
Dieser Übergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles und Bobillier zu Gegnern hatten Plücker, Steiner und Magnus und deren Hauptschauplatz das Bulletin von Férussac war.
Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide gezeichneten Kurven anführen, für welche Chasles das Fundament gelegt hat, und die von unserem Cremona so sehr bereichert ist.
Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr vorwärts bringt, als es früher in einem Jahrhundert geschah, welche uns zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen geführt hat, zu besitzen, ist der Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fünfzig Jahren, wo der Aperçu historique von Chasles erschien.
Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley, On the curves which satisfy given conditions enthalten sind, sowie in einigen Arbeiten von Jonquières über Systeme von Kurven und Flächen.
An die erste Stelle will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flächen zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flächen vierten Grades; jene wurde von Poncelet und Chasles untersucht, diese von demselben Chasles, von Cayley und vollständiger von Cremona.
Darboux, Clebsch, Lindemann, Hurwitz und Schubert, sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse.
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