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Aktualisiert: 19. Mai 2025
Und wie könnte ich es unterlassen, einen Blick auf die große Zahl von Kurven zu werfen, welche Cremona und Sturm studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf einer Oberfläche dritter Ordnung beschäftigten, dann auf die wichtigen Probleme, die von Clebsch und seinen Schülern über die rationalen, elliptischen und hyperelliptischen Kurven gelöst sind, und die eleganten Eigenschaften, welche Bertini an den rationalen Kurven fünfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl bei denjenigen, deren Punkte auf einer Oberfläche zweiten Grades liegen, während die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse berühren?
Es ist wahr, daß Brill und Nöther in einer Abhandlung, deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von Clebsch zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines Hilfsmittels vermeiden zu können, der überzeugendste Beweis der Macht desselben sind.
Die erste Arbeit, welche ex professo die Theorie der Abbildungen dieser Art behandelt, verdankt man Clebsch. Die zahlreichen Beispiele, durch welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen älteren und späteren die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flächen mit vielen Einzelheiten geführt.
Diese Analogie veranlaßte nun Clebsch, die Lösung des vorhin angegebenen Problems in einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflächen zu suchen.
Journ. für Math. 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August, Grunerts Arch. 59. Transactions of the Royal Society of Edinburgh 25. Math. Ann. 5. Math. Ann. 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in der Zeitschr. f. Math. 22. Math. Ann. 5. Math. Ann. 1, 13; vgl. Clebsch, Journ. für Math. 59. Irish Trans. 1869. Journ. für Math. 57, 59, 66. Tidsskrift for Mathematik, IV, 3.
Plücker schätzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewöhnt sind; er teilte sicherlich nicht mit Lamé die Ansicht, daß »die Bezeichnung für die Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte für den Stil ist«; bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genügen, nämlich schnell zur Lösung der ins Auge gefaßten Probleme zu führen.
Clebsch wandte auf diese Theorie die Methode der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte Weiler die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die Klein in seiner Dissertation angegeben hatte.
Weyrs und Benno Kleins bildet, daß schließlich die sogenannte Diagonalfläche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung von Clebsch über die Gleichungen fünftes Grades bildet und daß andere besondere Fälle von Cayley und Eckardt in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden.
Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Plücker, Chasles und Cayley für das Studium der Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von Clebsch und Cremona für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer Flächen vorgeschlagen sind.
Darboux, Clebsch, Lindemann, Hurwitz und Schubert, sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse.
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