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Aktualisiert: 28. Juni 2025
Die Transformationen haben dann die Eigenschaft, Puncte, welche im Sinne der Maßbestimmung von einander eine Entfernung gleich Null haben, sowie Puncte, welche von einem anderen Puncte eine constante Entfernung haben, wieder in solche Puncte zu verwandeln.
Münster i. W., Ende Mai 1888. Inhaltsverzeichnis. Seite Einleitung 1 I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3 II. Theorie der ebenen Kurven 21 III. Theorie der Oberflächen 31 IV. Untersuchungen über die Gestalt der Kurven und Oberflächen. Abzählende Geometrie 60 V. Theorie der Kurven doppelter Krümmung 71 VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80
Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese ganz kurz berühren. Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie.
Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlaßte die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die Bemühungen Cayleys, Nöthers und Cremonas, obwohl schon Magnus Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.
Die Puncttransformationen haben dagegen die characteristische Eigenschaft, vereinigt gelegene consecutive Linienelemente in eben solche zu verwandeln: die linearen und dualistischen Transformationen endlich bewahren die vereinigte Lage consecutiver Connex-Elemente.
Darauf setzte er auf eine sehr schöne Weise auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten könne, wenn man die ebene Abbildung einer Oberfläche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die Abbildung vieler Flächen auf andere zurückführt, insbesondere auf die ebene Abbildung einiger von ihnen.
Lassen wir z. B. A eine gerade Linie, B die dreifach unendlich vielen linearen Transformationen bedeuten, welche dieselbe in sich überführen. Die Behandlungsweise von A ist dann eben diejenige, welche die neuere Algebra als Theorie der binären Formen bezeichnet. Nun kann man die gerade Linie auf einen Kegelschnitt A' der Ebene durch Protection von einem Puncte des letzteren aus beziehen. Aus den linearen Transformationen B der Geraden in sich selbst werden dann die linearen Transformationen B' des Kegelschnittes in sich selbst, wie man leicht zeigt, d.
Die linearen Transformationen des Raumes haben die Eigenschaft gemein, Ebenenbüschel und Ebenenbündel wieder in solche überzuführen. Aber auf die Kugel übertragen ergibt das Ebenenbüschel ein Kreisbüschel, d.
Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte Magnus schon die Bemerkung, daß, wenn man eine quadratische Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche höherer Ordnung erhält.
Da die geometrischen Eigenschaften räumlicher Dinge durch alle Transformationen der Hauptgruppe ungeändert bleiben, so ist es an und für sich absurd, nach solchen Eigenschaften derselben zu fragen, bei denen dies nur gegenüber einem Theile dieser Transformationen der Fall ist. Diese Fragestellung wird indess berechtigt, ob auch nur formal, wenn wir die räumlichen Gebilde in ihrer Beziehung zu fest gedachten Elementen untersuchen. Betrachten wir z.
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