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Aktualisiert: 28. Juni 2025
Uebertragen wir dann durch stereographische Projection die Geometrie auf der Kugel von derselben auf die Ebene, wobei jeder Kreis in einen Kreis übergeht, so entsprechen einander also: die Raumgeometrie, welche als Element die Ebene, als Gruppe diejenigen linearen Transformationen benutzt, welche eine Kugel in sich überführen; die ebene Geometrie, deren Element der Kreis, deren Gruppe die Gruppe der reciproken Radien ist.
Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich Reye und Segre beschäftigt und von ihnen elegante Anwendungen gemacht. Aschieri übertrug eine spezielle ebene zweifache Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte auch die Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus.
Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser Theorie gewidmet hat, zu zeigen, würde ich auseinanderzusetzen haben, auf welche Weise dieser große Geometer das Studium der eindeutigen Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven zurückgeführt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Lösung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muß ich mich darauf beschränken, ihn davon durch den alten Beweis des »consensus omnium« zu überzeugen.
Indem wir von der Betrachtung der geometrischen Dinge ausgehen und an ihnen als einem Beispiele die allgemeinen Gedanken entwickeln, verfolgen wir den Gang, den die Wissenschaft in ihrer Ausbildung genommen hat, und den bei der Darstellung zu Grunde zu legen gewöhnlich das Vorteilhafteste ist. – Gruppen von räumlichen Transformationen. Hauptgruppe. Aufstellung eines allgemeinen Problems.
Annali di Matem. II, 8; Lombardo Rend. 1883. Vgl. auch Geiser, Journ. für Math. 67. Napoli Rend., 1879. Die Theorie der ebenen Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von Kantor bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekrönt worden ist und jetzt gedruckt wird.
Die Geometrie der reciproken Radien in der Ebene gestattet, sofern man nur auf reelle Transformationen achten will, noch nach einer anderen Seite eine interessante Darstellung, resp. Verwendung.
Diese Anwendung, vereint mit der obenerwähnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberfläche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann, sondern auch unzählig viele rationale Transformationen des Raumes.
Auch umgekehrt kann man sagen: Geometrische Eigenschaften sind durch ihre Unveränderlichkeit gegenüber den Transformationen der Hauptgruppe characterisirt.
Daß solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht heute außer allem Zweifel. In demselben werden ferner methodisch und in großer Ausführlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die heute noch fortwährend Anwendung finden, betrachtet. Viele spätere Abhandlungen von Möbius sind als Anhänge zum barycentrischen Calcul zu betrachten.
Die Gruppe aller Puncttransformationen. Wenn gegenüber dieser Gruppe keine Fläche mehr individuelle Eigenschaften besitzt, da jede in jede andere durch Transformationen der Gruppe übergeführt werden kann, so sind es höhere Gebilde, bei deren Untersuchung die Gruppe mit Vortheil Anwendung findet.
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