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Aktualisiert: 28. Juni 2025
Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei Riemann aus der allgemeineren einer Mannigfaltigkeit, in der ein Differentialausdruck der Veränderlichen gegeben ist. Die Gruppe besteht bei ihm aus der Gesammtheit der Transformationen der Variabeln, welche den gegebenen Ausdruck ungeändert lassen.
Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat, z.
Breitet man nämlich eine complexe Variable x+iy in gewöhnlicher Weise in der Ebene aus, so entspricht ihren linearen Transformationen die Gruppe der reciproken Radien, mit der erwähnten Beschränkung auf das Reelle.
Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden Raumes, welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, entweder die Gesammtheit der linearen Transformationen des Raumes, oder die Gesammtheit der Ebenen-Transformationen des Raumes zu wählen, welche die Kugel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der Kugel, das andere Mal von dem linearen Character der anzuwendenden Transformationen absehen.
Wir zweifeln nicht, daß diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen können; und wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, daß dieselbe der Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis bemerkt, die doppelten leisten können.
Die nunmehr gewonnenen Kreis-(Kugel-)Transformationen haben insbesondere die Eigenschaft, sich berührende Kreise (Kugeln) in eben solche überzuführen. Betrachtet man alle Curven (Flächen) als Umhüllungsgebilde von Kreisen (Kugeln), so werden in Folge dessen Curven (Flächen), die sich berühren, immer in wieder solche übergehen. Die fraglichen Transformationen gehören also in die Classe der später allgemein zu betrachtenden Berührungstransformationen, d.
Es sei dabei nur noch einmal bemerkt, dass wir bei der abstracten Untersuchung, der Geometrie gegenüber, den Vortheil haben, die Gruppe von Transformationen, welche wir zu Grunde legen wollen, ganz willkürlich wählen zu können, während in der Geometrie eine kleinste Gruppe, die Hauptgruppe, von Vornherein gegeben war.
Diese Art und Weise, vielfache Transformationen zu erzeugen, wurde von Tognoli auf den Raum ausgedehnt; derselbe ließ jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen entsprechenden Oberflächen eines dreifach unendlichen linearen Systemes bestimmt wird.
Gesetzt, man habe eine Mannigfaltigkeit A unter Zugrundelegung einer Gruppe B untersucht. Führt man sodann A durch irgendwelche Transformation in eine andere Mannigfaltigkeit A' über, so wird aus der Gruppe B von Aenderungen, die A in sich transformirten, nunmehr eine Gruppe B', deren Transformationen sich auf A' beziehen. Dann ist es ein selbstverständliches Princip, dass die Behandlungsweise von A unter Zugrundelegung von B die Behandlungsweise von A' unter Zugrundelegung von B' ergibt, d.
Die seitherigen Untersuchungen, hier wie dort, haben sich aber wesentlich mit Transformationen der zweiten Art beschäftigt.
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