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Unter einer Berührungstransformation hat man, analytisch zu reden, jede Substitution zu verstehen, welche die Variabel-Werthe x, y, z und ihre partiellen Differentialquotienten dz/dx = p, dz/dy = q durch neue x', y', z', p', q' ausdrückt. Dabei gehen, wie ersichtlich, sich berührende Flächen im Allgemeinen wieder in sich berührende Flächen über, was den Namen Berührungstransformation begründet. Die Berührungstransformationen zerfallen, wenn man vom Puncte als Raumelement ausgeht, in drei Classen: solche, die den dreifach unendlich vielen Puncten wieder Puncte zuordnen
Aber auch umgekehrt können die Berührungstransformationen definirt werden als diejenigen Substitutionen der fünf Veränderlichen x, y, z, p, q, vermöge deren die Relation dz-pdx-qdy=0 in sich selbst übergeführt wird.
Unter diese analytischen Gebilde gehören vor allen die homogenen Differentialausdrücke, sodann auch die partiellen Differentialgleichungen. Bei der allgemeinen Discussion der letzteren scheint aber, wie in dem folgenden Paragraphen ausgeführt wird, die umfassendere Gruppe aller Berührungstransformationen noch vorteilhafter.
Wenden wir auf einen Punct alle Berührungstransformationen an, so geht er in die Gesammtheit aller Puncte, Curven und Flächen über. In ihrer Gesammtheit erst bilden also Puncte, Curven und Flächen einen Körper unserer Gruppe.
Dadurch sind Punct, Curve, Fläche gemeinsam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will, analytisch repräsentirt werden. Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger Berührungstransformation invariante Beziehung.
Von der Gruppe aller Berührungstransformationen.
Es sei nur noch hervorgehoben, dass für den Standpunct der Berührungstransformationen eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung keine Invariante hat, dass jede in jede andere übergeführt werden kann, dass also namentlich die linearen Gleichungen nicht weiter ausgezeichnet sind. Unterscheidungen treten erst ein, wenn man zu dem Standpuncte der Puncttransformationen zurückgeht.
Die nunmehr gewonnenen Kreis-(Kugel-)Transformationen haben insbesondere die Eigenschaft, sich berührende Kreise (Kugeln) in eben solche überzuführen. Betrachtet man alle Curven (Flächen) als Umhüllungsgebilde von Kreisen (Kugeln), so werden in Folge dessen Curven (Flächen), die sich berühren, immer in wieder solche übergehen. Die fraglichen Transformationen gehören also in die Classe der später allgemein zu betrachtenden Berührungstransformationen, d.
Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten berichten, die von Chasles erhalten wurden, als er die gewöhnlichen Cartesischen Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von Staudt aufgestellt wurde und vollständiger von Fiedler; dann habe ich nicht über die Methode der symbolischen Bezeichnung berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für den Geometer ist; die Theorie der Berührungstransformationen (Lie) und der Differential-Invarianten (Halphen) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen; über die sogenannte Analysis situs habe ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von Riemann geschaffen und von seinen Schülern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu lösen. Dann haben sich meiner Darlegung die schönen Auseinandersetzungen von Battaglini und Ball entzogen über die Kräfte und Bewegungen, von Chasles, Aronhold, Mannheim und Burmester über die kinematische Geometrie und von Reye über die Trägheitsmomente, da sie bisher mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten Experimenten Plateaus (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen, deren Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen Untersuchungen über die Polyeder (Möbius, Bravais, Jordan, Heß), welche den Übergang von der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten über die geometrische Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Ces