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Aktualisiert: 7. Mai 2025
Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn 1879. Journ. für Math. 28, 34, 38. Journ. für Math. 49. Berliner Ber. 1864, sowie Nouv. Ann. Math. Ann. 1; Journ. für Math. 72. Vgl. Journ. für Math. 66. Über die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, Zur Theorie der Abelschen Funktionen für den Fall p=3.
Die Vorstellung einer solchen erwuchs bei Riemann aus der allgemeineren einer Mannigfaltigkeit, in der ein Differentialausdruck der Veränderlichen gegeben ist. Die Gruppe besteht bei ihm aus der Gesammtheit der Transformationen der Variabeln, welche den gegebenen Ausdruck ungeändert lassen.
An diese Schriften schließen sich viele andere; an die von Riemann und Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly, Genocchi, von Escherich und Bianchi; an die von Klein verschiedene Abhandlungen von Battaglini, d'Ovidio, de Paolis und Aschieri, Cayley, Lindemann, Schering, von Story, H. Stahl und Voß, von H. Cox und A. Buchheim.
Wir führen zunächst die von Steiner und Weierstraß an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die von Scherk und Bonnet, welche einige Spezialfälle derselben bearbeitet haben; Serret beschäftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, Riemann und Weierstraß mit solchen, die einen gegebenen Umriß haben, Geiser mit algebraischen, Noevius mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; Catalan mit solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, Henneberg mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; Bonnet untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Krümmungslinien befindet; Bour diejenigen, welche auf eine Rotationsfläche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt sind oder die von Kegeln eingehüllt sind, und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten; Enneper untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w.
Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die Mannigfaltigkeit von constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre Theorie ist die unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe kann,
Pappus 6 Parent 13 Pascal 9 Plateau 125 Plato 5 Plücker 19 Poisson 14 Poncelet 14 Ptolomaeus 6 Puiseux 72 Pythagoras 5. Richelot 16 Riemann 110. Saint-Venant 72 Scheeffer 118 Schooten 13 Serret, A. 50 Seydewitz 33 Simpson 11 Smith 29 Snellius 16 Spottiswoode 124 Staudt 19 Steiner 18 Stewart 11 Sturm, Ch. 104. Tartaglia 8 Thales 4 Transon 81. Vieta 9. Waring 22 Wren 32. Berichtigung.
In derselben läßt der berühmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte projiziert, und indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des grösseren Teiles der Theorien der gewöhnlichen Geometrie der Lage.
Von Ostern 1857 bis ebendahin 1859 studierte ERNST ABBE Mathematik, Physik, Astronomie und Philosophie an der Universität Jena, wo er sich besonders an K. SNELL anschloß, von 1859-1861 in Göttingen, wo neben dem berühmten Physiker W. WEBER der große Mathematiker B. RIEMANN den stärksten Einfluß auf sein Denken gewann.
Der andere hingegen wurde besonders infolge der berühmten Abhandlung von Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, in vielen Richtungen weiter entwickelt, und die mathematische Litteratur über diesen Gegenstand ist von einer schon beträchtlichen Reichhaltigkeit und wächst noch von Tag zu Tag.
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