United States or Austria ? Vote for the TOP Country of the Week !
Die Gleichung dy/dx = P drückt gar nichts weiter aus, als daß P ein Verhältniß ist, und es ist dem dy/dx sonst kein reeller Sinn zuzuschreiben. Von diesem Verhältniß = P ist es aber ebenso noch unbekannt, welchem andere Verhältnisse es gleich sey; solche Gleichung, die Proportionalität, giebt demselben erst einen Werth und Bedeutung.
Daß aber ein quantitativer Unterschied, der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene seyn zu können nicht nur, sondern seyn zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist, dieß ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik evident seyn kann; damit aber ist über dy/dx = 0/0 nicht hinausgekommen worden.
So ist die unendliche Differenz das Schweben eines Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnißbestimmung gegen x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück.
Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen Entwickelung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefaßt wird, daß der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört, explicirt wird.
Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein Näheres; und unendlich nahe heißt selbst die Negation des Naheseyns und des Annäherns.
Wenn dagegen dy/dx = p d.i. als ein bestimmtes quantitatives Verhältniß, angenommen wird, wie dieß in der That der Fall ist, so kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden wird.
Letztere wird als dy/dx exponirt im Zusammenhange dessen, was für die Entwickelung der gleichförmig beschleunigten Bewegung ausgegeben wird; aber daß ein Moment von einfacher, schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein in der Routine der Methode gegründete Annahme.
Von diesem zweiten Produkt nun das erste abgezogen, bleibt y d x + x d y als Überschuß, und dieß sey der Überschuß des Wachsthums um ein ganzes dx und dy, denn um dieses Wachsthum sind beide Produkte unterschieden; es ist also das Differential von xy.
In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnißbestimmung der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und dx/dy selbst als ein einziges untheilbares Zeichen angesehen werden.
So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y = ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax + b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebenso sehr a = y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c. die der schlechten Geschwindigkeit.