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Der Übergang vom Sprechen zum Schreiben entspricht dem Übergang von einer pragmatisch-affektiven Lebenspraxis zu einer pragmatisch-rationalen Ebene mit linearen Beziehungen zwischen den Menschen und ihrer Umwelt. Sie vollzieht sich im Zusammenhang der Evolution vom Synkretistischen zum Analytischen.
Der Hauptsatz, der in der Geometrie, welche die Gruppe aller Puncttransformationen zu Grunde legt, in Geltung ist, ist der, dass eine Puncttransformation für eine unendlich kleine Partie des Raumes immer den Werth einer linearen Transformation hat. Die Entwickelungen der projectivischen Geometrie haben also nun ihren Werth für das Unendlichkleine, und hierin liegt, mag sonst die Wahl der Gruppe bei Behandlung von Mannigfaltigkeiten willkürlich sein
Sie ergab sich aus einer Skala mit linearen Beziehungen, als Ergebnis wiederholter entsprechender Erfahrungen von Abfolgen, die sich zu Erfahrungsmustern verfestigten.
Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von Caporali über die dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest, in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.
Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushülfe zu Trapezen von unendlich kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung.
In der That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers präzisierend, die Bemerkung machte, daß man die Geometrie der Geraden ansehen könne als das Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, enthalten in einem linearen Raume von fünf Dimensionen, und zeigte, daß jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden darstellbar ist.
Die ersten Mitteilungen über diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der Königlichen Gesellschaft zu London von dem großen deutschen Geometer gemacht wurden, enthalten die Sätze über einige allgemeine Eigenschaften der Komplexe, Kongruenzen und Regelflächen und einige spezielle Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen; die Beweise derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume geführt werden, die er als einen eigenen Gedanken eingeführt hatte, die man später aber als Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley aufgestellt hatte, um vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume darstellen zu können.
Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese ganz kurz berühren. Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie.
Schriftkulturelle Annahmen sind im Gegensatz zu anderen der Sprachlichkeit eigenen Annahmen Erweiterungen der linearen, sequentiellen Erfahrung mit all ihren konstitutiven Teilen. Sie schlagen sich im Vokabular nieder, besonders aber in der Grammatik. Die neue Mündlichkeit hingegen ist eine Erfahrung jenseits des Bereichs, der durch die Mittel und Methoden der Schriftkultur bestimmt ist.
In der Gruppe dieser Transformationen sind auf der Kugel die bez. linearen, in der Ebene die Transformationen der Gruppe der reciproken Radien enthalten.