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Aktualisiert: 4. Oktober 2025
Solcher Transformationen gibt es nun zwar beliebig unendlich viele: denn man braucht nur den Punct der Fläche als Durchschnitt der Erzeugenden zweierlei Art zu betrachten und jedes der Geraden-Systeme beliebig in sich zu transformiren. Aber unter den Transformationen sind insbesondere die linearen. Nur auf diese wollen wir achten.
In Verbindung mit dieser linearen Lebenspraxis wurde die Sprache entwickelt und in der menschlichen Lebenspraxis etabliert. Linearität heißt hier nichts anderes, als daß ein Mensch weniger effektiv ist als zwei, und umgekehrt, daß die Bedürfnisse eines Menschen geringer sind als diejenigen von mehreren Menschen. Die Selbstkonstituierung des Menschen durch Sprache bewahrt diese Form der Linearität.
Die globale Skala unserer heutigen Lebenspraxis ist nicht nur eine einfache Erweiterung der linearen deterministischen Beziehungen zwischen den Menschen und seinem lebenserhaltenden System, der Umwelt. Das Ende des Nationalstaats, vielleicht sogar der Demokratie, mag noch in weiter Zukunft liegen, aber es steht uns bevor.
Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das analytische Verhältniß ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als das Übergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu krummlinigten u.s.f.
Das traf in gewissem Maße auch zu, solange Dichtung, Politik und Wissenschaft mehr oder weniger unmittelbare Bestandteile der Lebenspraxis waren und der Skala der menschlichen Tätigkeit entsprachen, die sich in linearen, homogenen Erfahrungen herausbildete.
Die Untersuchung der Functionen einer complexen Veränderlichen, die beliebigen linearen Transformationen unterworfen gedacht ist, ist aber nichts Anderes, als was bei einer etwas abgeänderten Darstellungsweise Theorie der binären Formen genannt wird.
Statt der linearen Transformationen des aus Ebenen bestehenden Raumes, welche die Kugel in sich überführen, liegt es nahe, entweder die Gesammtheit der linearen Transformationen des Raumes, oder die Gesammtheit der Ebenen-Transformationen des Raumes zu wählen, welche die Kugel ungeändert lassen, indem wir das eine Mal von der Kugel, das andere Mal von dem linearen Character der anzuwendenden Transformationen absehen.
Wir haben gezeigt, wie sich Sprache von ihrer Bindung an individuelle Erfahrung loslöste, wie diese Entwicklung Interaktionsformen und Handlungsmuster beeinflußte und wie sich schließlich die verschiedenen Notationsformen aus einer erweiterten Erfahrungs- und Interaktionsskala heraus zur Schrift hin entwickelten, die ihrerseits einen ganzen Satz von linearen Konventionen bewirkte.
Daß aber die angebliche bloße Summation in der That eine Multiplikation, also den Übergang von der linearen in die Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, daß der Flächeninhalt eines Trapezes gleich sey dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden parallelen Linien in die halbe Höhe.
Wiener, welcher sie untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe der Grundpunkte des Büschels zugeordnet, der durch die entsprechenden Kurven konstituiert wird.
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