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B. Bekker, bez. Welt. Buch IV. Cap.
Bei der zweiten Erweiterung, die wir nannten, gilt es zunächst die Frage nach der Art der bez. Transformationsgruppe erledigen. Es handelt sich darum, Ebenen-Transformationen zu finden, die aus jedem Ebenenbündel, dessen Scheitel auf der Kugel liegt, wieder ein solches Bündel machen.
In Agram kann man immer viel Dinge hören, die man nicht zu glauben braucht. Die Versicherung, daß es in der Lika schon längst keine Räuber mehr gibt, das Reisen völlig sicher und gefahrlos sei, hatte mein „Automobilherr“ mit Vergnügen entgegengenommen. Mir war in Erinnerung, in einem Geschichtswerk gelesen zu haben: „Ni gora bez vuka, ni Lika bez hajduka!“ (Weder ist das Gebirge ohne Wölfe noch die Lika ohne Räuber!) Der Spruch stammt aus unruhigen Zeiten, als noch den Nordkroaten und Slavoniern Likabewohner und Räuber sinnverwandte Worte waren. Zu lesen war aber auch, daß der Likaner damals nicht aus Habsucht Hajduk wurde, sondern aus gekränktem
In der Gruppe dieser Transformationen sind auf der Kugel die bez. linearen, in der Ebene die Transformationen der Gruppe der reciproken Radien enthalten.
Die erklärten Anhänger der Bodenbesitzreform, welche sich in Deutschland zu einem besonderen »Bund« mit einer Anzahl von Zweigvereinen zusammengethan haben und im Besitze eines besonderen, in Berlin erscheinenden Organs unter dem Titel »Freiland« sind, scheinen in ihrer Mehrzahl der Ansicht zu sein, dass »die Überführung des Grundbesitzes, bez. der Grundrente, aus den Händen einzelner in die Hände der Gesamtheit«, welche laut Statut den Zweck ihrer Bestrebungen bildet, hinreichend sei, um, wenn auch nicht unmittelbar, so doch mittelbar eine vollständige Lösung der sozialen Frage herbeizuführen.
Wenn wir beliebige Gebilde als Raumelemente einführen, so erhält der Raum beliebig viele Dimensionen. Wenn wir dann aber an der uns geläufigen (elementaren oder projectivischen) Anschauungsweise festhalten, so ist die Gruppe, welche wir für die mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen haben, von Vorne herein gegeben; es ist eben die Hauptgruppe bez. die Gruppe der projectivischen Umformungen. Wollten wir eine andere Gruppe zu Grunde legen, so müssten wir von der gewöhnlichen bez. der projectivischen Anschauung abgehen. So richtig es also ist, dass bei geschickter Wahl der Raumelemente der Raum Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Ausdehnungen repräsentirt, so wichtig ist es, hinzuzufügen, dass bei dieser Repräsentation entweder von Vorneherein eine bestimmte Gruppe der Behandlung der Mannigfaltigkeit zu Grunde zu legen ist, oder dass wir, wollen wir über die Gruppe verfügen, unsere geometrische Auffassung entsprechend auszubilden haben.
Vor dem Vorwurfe des Manichäismus schützte man sich indessen, wenn man den Teufel auch das Ungemessenste wirken liess, durch die Clausel »mit Gottes Zulassung.« Bez. Welt, Buch II. Cap.
Zu dem Zwecke betrachten wir die Ebene mit ihrem Kegelschnitte als Bild einer Fläche zweiten Grades, die man von einem nicht auf ihr befindlichen Raumpuncte aus so auf die Ebene projicirt hat, dass der bez. Kegelschnitt die Uebergangscurve vorstellt.
Ein ähnlicher Entwicklungsgang, wie der hier geschilderte, kann bei jeder Art von räumlicher Transformation als möglich gedacht werden; wir werden noch öfter darauf zurückkommen. Er hat sich innerhalb der projectivischen Geometrie selbst noch nach zwei Seiten vollzogen. Die eine Weiterbildung der Auffassung geschah durch Aufnahme der dualistischen Umformungen in die Gruppe der zu Grunde gelegten Aenderungen. Für den heutigen Standpunct sind zwei einander dualistisch entgegenstehende Figuren nicht mehr als zwei unterschiedene sondern als wesentlich dieselben Figuren anzusehen. Ein anderer Schritt bestand in der Erweiterung der zu Grunde gelegten Gruppe collinearer und dualistischer Umformungen durch Aufnahme der bez. imaginären Transformationen. Dieser Schritt bedingt, dass man vorher den Kreis der eigentlichen Raumelemente durch Hinzunahme der imaginären erweitert habe
An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken Radien und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt und nur durch die Zahl der Veränderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse Erweiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden mögen. Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Gedanken, dass die Gruppe, welche die Behandlungsweise gegebener Gebiete bestimmt, beliebig erweitert werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist namentlich die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer neueren Abhandlung niedergelegt hat[^25], in ihrer Beziehung zu den hier vorgetragenen Ueberlegungen darzulegen. Der Weg, auf welchem wir zu Lies Kugelgeometrie gelangen, weicht insofern von dem von Lie eingeschlagenen ab, als Lie an liniengeometrische Vorstellungen anknüpft, während wir, um uns mehr der gewöhnlichen geometrischen Anschauung anzuschliessen und im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zu bleiben, bei den bez. Auseinandersetzungen eine geringere Zahl von Veränderlichen voraussetzen. Die Betrachtungen sind, wie bereits Lie selbst hervorgehoben hat (Göttinger Nachrichten 1871. N.