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Aktualisiert: 14. Juni 2025
Verfolgt man die Entwicklung der Geometrie zu ihren Quellen aufwärts, so dürfen wir nicht überrascht sein, dass man bei dem uns bekannten ältesten Culturvolke, bei den Aegyptern, am weitesten vorzudringen vermag, und zwar an der Hand der indirecten wie der directen Nachrichten, welche uns über diesen Gegenstand zugekommen sind.
Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein fast unausführbares Unternehmen. Die täglichen Erfahrungen jedes denkenden Menschen führen auf eine so natürliche Weise zur Vorstellung der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer gegenseitigen Beziehungen, daß man vergebens versuchen würde, den Namen desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man über die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich vornimmt, sie festzustellen, den umhüllt, wenn nicht völlige Finsternis, so doch nur ein wenig Dämmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer Bruchstücke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, daß die ältesten geometrischen Studien von den
Der hier gemachte Gebrauch ist berechtigt und nothwendig; er fällt in den Umkreis der Geometrie, indem es zur geometrischen Bestimmung einer Tangente als solcher gehört, daß zwischen ihr und der Kurve, mit der sie einen Punkt gemeinschaftlich hat, keine andere gerade Linie, die gleichfalls in diesen Punkt fiele, durchgehen könne.
und ganz entsprechend: Geometrie der reciproken Radien im Raume ist mit der projectivischen Behandlung einer Mannigfaltigkeit gleichbedeutend, die durch eine quadratische Gleichung zwischen fünf homogenen Veränderlichen dargestellt wird.
Daß die Arbeiten dieser drei großen Gelehrten einen wohlthätigen Einfluß auf die ganze Geometrie ausgeübt haben, hat sich zur Evidenz durch die
Legen wir den angeführten Zeugnissen Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so müssen wir von *Demokritos* als von einem »in der Geometrie vollkommenen Manne« voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut war.
Überdies scheint es außer Zweifel zu stehen, daß Gauß ausgedehnte und bestimmte Ideen über die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; vgl. Sartorius von Waltershausen, a. Math. 28. Annali di Matem. II, 2 und 5. Journ. für Math. 65; Annali di Matem. Journ. für Math. 83. Amer. Journ. 2. Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig, 1885. Math. Ann. 27.
Betreffend andere bibliographische Einzelheiten über diesen Zweig der Geometrie vgl. man den Artikel von Painvin, der in dem Bull. Sciences math. 3 veröffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der Bibliotheca mathematica II, 2 , S. 39, 67 veröffentlichten Artikel Notizie storiche sulla geometria numerativa. Comptes rendus 67. Math. Ann. 6. Göttinger Nachr. 1876. Comptes rendus, 1876; Journ.
In solchem Falle aber sehe man sich ja vor, daß der Beweis die apodiktische Gewißheit einer Demonstration habe. Denn die Wirklichkeit solcher Ideen bloß wahrscheinlich machen zu wollen, ist ein ungereimter Vorsatz, ebenso, als wenn man einen Satz der Geometrie bloß wahrscheinlich zu beweisen gedächte.
Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schöne Abhandlung von Caporali über die dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest, in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberfläche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.
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