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Ferner will ich der vielen Eigenschaften erwähnen, welche Poncelet, Chasles, Cremona, Reye, Paul Serret, Laguerre, Milinowski und viele andere über die Raumkurven vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schönen Anwendungen, die sie für die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, Harnack, Lange, Westphal, Léauté u. s. w.
Newton überwand diese, indem er lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fünfen derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden können. Zu dieser ersten Einteilung der Formen der Kurven dritter Ordnung fügte Chasles eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende Analogie bietet.
Eine besondere Eigentümlichkeit dieser Korrespondenz ist die, daß, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer nötig ist, nur den Teil der Oberfläche abzubilden, den man gerade ins Auge faßt; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend übergehen, da deren Anführung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphärischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Plücker, Chasles und Cayley für das Studium der Geometrie auf einer Fläche zweiten Grades, denen, die von Clebsch und Cremona für das Studium der Geometrie auf einer kubischen Fläche, und von denen endlich, die von späteren Geometern für die Untersuchung anderer Flächen vorgeschlagen sind.
Geleitet nämlich durch einen Induktionsschluß, behauptete Chasles, daß die Zahl derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine homogene lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und allein von dieser Bedingung abhängen.
Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Räumen sich schneiden; Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter Eigenschaften derselben gefunden.
Die Bände der Comptes rendus von 1864 ab enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsätzen verschiedener Art, die von Chasles aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stützt.
Chasles und Gergonne, als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare Eigenschaften.
Auf Chasles fällt der Ruhm, in seiner Methode der Charakteristiken ein feines und mächtiges Hilfsmittel gefunden zu haben , mit dem er eine große Zahl von Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die Gebilde beliebige sind, zur Lösung derselben zu gelangen.
Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere Theorie von Chasles studiert schon 1839 , von Reye, von Silldorf, Schur, Bertini, von d'Ovidio und von W. Stahl; Buchheim bediente sich der Quaternionen, um die hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von Mannheim, Lie, Klein, Picard und Königs gelöst wurden.
Diese Idee, deren Keime sich vielleicht bis zu der von Chasles vorgeschlagenen Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurückverfolgen lassen, konnte nicht mehr vollständig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen, welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erläutert hat.