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Eine halbe Stunde weit von der großen Stadt, deren Türme, Gasometer und Riesenschornsteine aus dem gelbgrauen Nebel wie Köpfe langsam Ertrinkender sich emporquälen, liegt die Gewerkschaft »Frisch auf«. Mitten im Grün flacher Weideflächen und bis zum Rand der pastellhaften Kurve brauner
Sieh dir diese Kurve an, diese verdammte Kurve des Mondes an deinem Fenster. Nein, Cederström, sonst wollte ich dir nichts erzählen, dies ist alles, dir vielleicht wenig. Dies ist alles, was mich peinigt.« Es ist zwei Uhr nachts, nun stellen wir uns nicht mehr in die Nische, nun unterbrechen wir den Tanz und machen eine neue Aufstellung.
Der andere Theil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve, welche in jenem Verhältnisse stehen. Anal. Dieß ist, um es ini Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das eben darum der vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist.
In der That sind ja die Definition der Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe.
Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich zu beweisen, daß zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen Ganzen z.B. einer Kurve, ein Verhältniß von der ursprünglichen zu der abgeleiteten Funktion Statt finde.
Es ist also zweitens die Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien sind, welche in solchem Verhältnisse stehen? dieß aber ist es, was schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird, von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist, welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es zu thun ist.
Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben, die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von Durège entwickelt.
Und so in dem Gedanken daran sprangen alle Ventile der Angst und Unterdrückung weit auf, und in einem köstlichen und befreienden Erguß strahlte sich ihr verjochtes Leben heraus, wie eine lang im Tiefen der Rohre. gehaltene Fontäne sich in einen späten Sommerabend mit starker und doch resignierter Kurve erhebt.
Schon Poncelet hatte den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und später den Einfluß eines Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualität anwandte, stieß er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne daß es ihm gelang, dafür eine vollständige Erklärung zu finden.
Wenn man hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die Beschränkung aufhebt, daß diese in einer Ebene gelegen seien: dann entsteht die Theorie der unebenen Kurven.