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Die Sprachen, die die Grundlagen der Geometrie, der algebraischen Geometrie, der Topologie und der Differentialgeometrie bilden, sind so verschieden wie die Erfahrungen, aus denen sie abgeleitet wurden. Oft reicht die schriftkulturelle Sprache aus, um geometrische Probleme zu formulieren, sie versagt aber bei der Lösung dieser Probleme.
Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der Disquisitiones generales circa superficies curvas von Gauß.
Eingehenderes findet man in der Note 65 der Analytischen Geometrie des Raumes von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl. 1880, II. Teil S. 37. In Bezug auf eine synthetische Darstellung der Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung (Leipzig, 1859), und Paul Serret, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes
Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist; vielmehr haben Bertrand und Bonnet zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann.
Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die der projektiven Geometrie ist. Diese bilden zusammen mit den Studien, die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von dem Erscheinen der Application de l'Analyse
Die Veränderungen, welche diese Übersetzung im Vergleich mit dem italienischen Originale aufweist, bestehen, außer stark vermehrten Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die Gestalt der Kurven und der Oberflächen und die abzählende Geometrie bezüglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.
Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die Differentialgeometrie durch eine höchst wichtige Arbeit bereichert, die Developpements de Géométrie von Ch. Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls Weingarten verdankt und die sich auf Oberflächen beziehen, deren Normalen eine andere vorgelegte Oberfläche berühren.