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Dieser Abhandlung folgte eine, die von Salmon in demselben Bande des Cambr. Journ. veröffentlicht wurde, und zu ihrer Ergänzung wiederum dient eine von Zeuthen, die in den Annali di Matem. II, 3 abgedruckt ist. Comptes rendus 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die Dissertation von Ed. Comptes rendus 70; Bull. Soc. math. 1 und 2. Math. Ann. 7. Math. Ann. 6.
Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, Plücker, Salmon eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie.
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze halber stillschweigend übergehen muss, trotz der schönen Darlegungen, welche Salmon und Cremona über sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, daß die Theorie der Oberflächen weit vorgeschritten sei.
Die dort angewandte Beweisführung kann verallgemeinert werden und in vielen Fällen dazu dienen, die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systemes von algebraischen Gleichungen zu finden. Soc. math. 1, 2; Comptes rendus 78. Comptes rendus 61. Ebendas. 62. S. auch Salmon, Quart. Journ. 1866; Schubert, Journ. für Math. 71 und 73. Vgl. auch Comptes rendus 74, 75. Paris, 1871. Journ. für Math. 79, 80.
Phil. Trans. 1863-1869. In den angeführten Arbeiten haben Cayley und Salmon die Regelflächen bearbeitet als die
Eingehenderes findet man in der Note 65 der Analytischen Geometrie des Raumes von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl. 1880, II. Teil S. 37. In Bezug auf eine synthetische Darstellung der Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung in rein geometrischer Darstellung (Leipzig, 1859), und Paul Serret, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes
Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher, mit welchen Salmon so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über diese und viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.
Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin, von Sylvester, Cayley, Salmon, Durège, Cremona, von Sturm, von Küpper, Graßmann, Milinowski und von anderen über die Kurven dritter Ordnung, die Kapitel des Barycentrischen Calculs, dann verschiedene Arbeiten von Em.
Wenn auch schon im Jahre 1849 Cayley und Salmon die Geraden einer kubischen Fläche bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester das Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, daß Steiner unabhängig von ihnen die Existenz jener und dieses in seiner berühmten Mitteilung, welche er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.
Poncelet bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche und eröffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen Salmon und Cayley die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche Plücker durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.