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Aktualisiert: 18. Mai 2025
Jedoch kann man sagen, daß dieser neue Zweig der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der Behandlung der projektiven Eigenschaften der Räume von n Dimensionen durch die Prinzipien des Schneidens und Projizierens gewidmet hat.
Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von Clifford ansehen: On the classification of loci, in welcher das allgemeine Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven Geometrie zu machen pflegt.
Die Untersuchungen über die Oberflächen, mit denen wir uns bis jetzt beschäftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie zurückgeführt sind oder sich darauf zurückführen lassen. Es giebt aber noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art behandeln, die größtenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehört, nicht die der projektiven Geometrie ist. Diese bilden zusammen mit den Studien, die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (über welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr wichtigen Zweig der Geometrie für sich sowohl, als auch wegen der Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodäsie und der mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der Differentialgeometrie. Über die wesentlichen Punkte derselben wollen wir nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von dem Erscheinen der Application de l'Analyse
Für einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage gelöst, indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des unendlich entfernten imaginären Kreises einführten; für andere wurde die Lösung von Laguerre gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Lösung in ihrer ganzen Allgemeinheit gab, war Cayley , der in dem sechsten von seinen berühmten Memoirs upon Quantics zeigte, daß jede metrische Eigenschaft einer ebenen Figur als in einer projektiven Beziehung zwischen dieser und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden könne.
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