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Aktualisiert: 24. Oktober 2025
An die Theorie der binären Formen, die Geometrie der reciproken Radien und die Liniengeometrie, welche im Vorstehenden coordinirt und nur durch die Zahl der Veränderlichen unterschieden scheinen, lassen sich gewisse Erweiterungen knüpfen, die nun auseinandergesetzt werden mögen. Dieselben sollen einmal dazu beitragen, den Gedanken, dass die Gruppe, welche die Behandlungsweise gegebener Gebiete bestimmt, beliebig erweitert werden kann, an neuen Beispielen zu erläutern; dann aber ist namentlich die Absicht gewesen, Betrachtungen, welche Lie in einer neueren Abhandlung niedergelegt hat[^25], in ihrer Beziehung zu den hier vorgetragenen Ueberlegungen darzulegen. Der Weg, auf welchem wir zu Lies Kugelgeometrie gelangen, weicht insofern von dem von Lie eingeschlagenen ab, als Lie an liniengeometrische Vorstellungen anknüpft, während wir, um uns mehr der gewöhnlichen geometrischen Anschauung anzuschliessen und im Zusammenhange mit dem Vorhergehenden zu bleiben, bei den bez. Auseinandersetzungen eine geringere Zahl von Veränderlichen voraussetzen. Die Betrachtungen sind, wie bereits Lie selbst hervorgehoben hat (Göttinger Nachrichten 1871. N.
Die Erweiterungen, die ihr durch psychologisches, pädagogisches und selbst physiologisches Material eine Zeitlang gegeben wurden, sind nachher für Verunstaltungen ziemlich allgemein anerkannt worden.
Zum Schlusse wollen wir die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe, einiger Sätze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzüglich von Rudel, Hoppe, Schlegel und Mehmke gemacht sind; dazu gehören auch die Untersuchungen von Stringham, Hoppe, Schlegel, Scheffler, Rudel, O. Biermann, Puchta und anderen über die regulären Körper des vierdimensionalen Raumes, die soweit gediehen, daß sie Schlegel gestatteten, Modelle der Projektionen dieser Körper auf unseren Raum herzustellen.
Erweiterungen des Vorangehenden. Lies Kugelgeometrie.
Die Salivas haben großen Hang zur Musik; seit den ältesten Zeiten blasen sie Trompeten aus gebrannter Erde, die vier bis fünf Fuß lang sind und mehrere kugelförmige Erweiterungen haben, die durch enge Röhren zusammenhängen. Diese Trompeten geben sehr klägliche Töne.
Insofern können Transaktionen auf dem Markt als Erweiterungen der menschlichen biologischen Anlagen gesehen werden: Die Produkte unserer Arbeit verkörpern die strukturalen Merkmale unserer natürlichen Anlagen und genügen den Bedürfnissen und Erwartungen, die diesen Merkmalen entsprechen.
"Groessere und kleinere Voelkerschaften", sagt Strabon in der Schilderung des aeltesten Rom, "umschlossen die neue Stadt, von denen einige in unabhaengigen Ortschaften wohnten und keinem Stammverband botmaessig waren". Auf Kosten zunaechst dieser stammverwandten Nachbarn scheinen die aeltesten Erweiterungen des roemischen Gebietes erfolgt zu sein.
Auch hatten Agitation, parlamentarische Tätigkeit, Untersuchungshaft und Prozeß, wozu noch angestrengte Tätigkeit in meinem Geschäft kam, das meine Kräfte ebenfalls in hohem Grade in Anspruch nahm und mich zu Erweiterungen meines kleinen Betriebs nötigte, meine Nerven zerrüttet. Ich litt neben heftigen Schmerzen an großer Schlaflosigkeit.
Wurden vorstehend die zweierlei Erweiterungen nur an die Geometrie der reciproken Radien angeknüpft, so gelten dieselben in entsprechender Weise für Liniengeometrie, überhaupt für die projectivische Untersuchung einer durch eine quadratische Gleichung ausgeschiedenen Mannigfaltigkeit, wie bereits angedeutet wurde, hier aber nicht weiter ausgeführt werden soll.
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