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Aktualisiert: 11. Juni 2025
Die erste Verallgemeinerung ist ohne Weiteres verständlich und wir mögen sie also zuerst betrachten und in ihrer Bedeutung für ebene Geometrie verfolgen; auf die zweite kommen wir hernach zurück, wobei es sich denn zunächst darum handelt, die allgemeinste betreffende Transformation zu bestimmen.
Minkowski spricht von der v i e r d i m e n s i o n a l e n W e l t als der Zusammenfassung von Raum und Zeit. Es lassen sich auf diese vierdimensionale Welt die Gesetze der gewöhnlichen dreidimensionalen Geometrie übertragen, teils in zeichnerischer, teils und besonders erfolgreich in rechnerischer Verallgemeinerung.
Als ebene Mannigfaltigkeit bezeichnet Riemann die Mannigfaltigkeit von constantem verschwindenden Krümmungsmaße. Ihre Theorie ist die unmittelbare Verallgemeinerung der elementaren Geometrie. Ihre Gruppe kann,
Doch sobald einmal die Grenze des streng Gesetzlichen überschritten ist, wird es schwer, einen Punkt anzugeben, wo eine solche Überschreitung in strafwürdige Willkür übergehen würde, und vor allem wird grosse Vorsicht Pflicht, sobald man weiss, dass die Häuptlinge nur auf ein schlechtes Beispiel warten, um ihm mit weitgehender Verallgemeinerung nachzufolgen.
Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlaßte die Theorie der rationalen Transformationen im Räume. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die Bemühungen Cayleys, Nöthers und Cremonas, obwohl schon Magnus Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.
Wir mögen hier nur die folgenden drei Behandlungsweisen, und auch diese ganz kurz berühren. Ihre Gruppe besteht in der Gesammtheit der linearen und dualistischen Transformationen der zur Darstellung des Einzelnen in der Mannigfaltigkeit verwendeten Veränderlichen; sie ist die Verallgemeinerung der projectivischen Geometrie.
Als Verallgemeinerung der Geometrie entsteht so das folgende umfassende Problem: Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.
Solche Gedankengänge, die das unmittelbare Einleuchten gewisser Sätze bestreiten, kommen natürlich im wirklichen Leben nicht vor. Man ist hier eher geneigt, das unmittelbare Einleuchten gewisser dem sinnlichen Schein oder einer unberechtigten Verallgemeinerung zu liebe aufgestellter Sätze zu behaupten, wie z. B. das unmittelbare Einleuchten des Satzes, dass die Sonne still steht.
Christlich-sozial, das war das Stichwort zur Verallgemeinerung des Gesprächs. Göhre hatte eben sein Pfarramt niedergelegt, Naumann plante eine Tageszeitung; die offene Trennung der Gruppe, die sich um ihn gebildet hatte, von der Stöckerpartei, war eine schon fast vollendete Tatsache.
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