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Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur diejenigen von Bouquet, A. Serret, Bonnet, Catalan, Moutard, Darboux, Cayley, Ribaucour, Weingarten, Schläfli, Hoppe, Bianchi und Molins nennen will.
Darboux, Clebsch, Lindemann, Hurwitz und Schubert, sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse.
Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet und von Darboux über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in den Disquisitiones enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von Beltrami an: Risoluzione del problema.
Liouvilles Journ. 11. das. 12. Comptes rendus 54. Mémoires couronnés par l'Académie de Belgique, 32. Comptes rendus 59. das. 59, 60, 67, 76; Ann. Éc. norm. Comptes rendus 74, 75; Phil. Trans. 163. Vgl. Weingarten, Journ. für Math. 83. Comptes rendus 76. Journ. für Math. 85. das. 76; vgl. Darboux, Comptes rendus 84. Grunerts Arch. 55, 56, 57, 58 und 63. Giorn. di Matem. 21, 22; Annali di Matem.
Diese Eigenschaft der Kummerschen Fläche veranlaßte eine Untersuchung über die Oberflächen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen ist, Berliner Ber. 1878. Berliner Ber. 1870, oder Math. Ann. 23. Journ. für Math. 97; vgl. Segre das. 98. Brioschi und Darboux, Compt. rend., 1881. Journ. für Math. 84. Ann. 15. Journ. für Math. 70.
Gleichzeitig fand Moutard dieselbe Eigenschaft für den Fall, daß die Doppelkurve der Oberfläche der unendlich entfernte imaginäre Kugelkreis ist, und er bemerkte weiter gleichzeitig mit Darboux, daß in diesem Falle die Oberfläche zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflächen, gebildet von Flächen derselben Art, gehören kann.
Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette und Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea, dann die Schriften von Dini, Lie, Bianchi, Bäklund, Darboux und Dobriner.