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Mis à jour: 13 juin 2025
Outre la belle propriété du mouvement contenue dans cette proposition remarquable, on conçoit que, sous le rapport analytique, elle peut être envisagée comme un nouveau moyen de former les équations différentielles qui doivent conduire
Ce premier moyen étant écarté, il n'en reste évidemment qu'un seul; c'est, vu l'impossibilité de trouver directement les équations entre les quantités que l'on considère, d'en chercher de correspondantes entre d'autres quantités auxiliaires, liées aux premières suivant une certaine loi déterminée, et de la relation desquelles on remonte ensuite
Les résultats de la méthode graphique sont fort différents. Elle donne aux grandeurs des valeurs figurées, dont l'aspect est frappant, et dont il est facile de saisir les relations, alors même que ces relations ne pourraient être traduites que par des équations d'une complexité extrême. Sans doute de telles lignes sont, elles aussi, des symboles, mais ces symboles figurés ont une clarté que les chiffres ou les lettres ne sauraient offrir
Pour organiser la représentation des formes géométriques par des équations analytiques, on doit surmonter préalablement une difficulté fondamentale, celle de réduire
De très bonne heure, nous dit un de ses biographes et admirateurs, notre jeune philosophe, qui était surtout fort en mathématiques, fut frappé de la différence profonde qui semble exister outre la notion mathématique et la notion philosophique du temps. Voici comment il résume sa pensée: «Le caractère singulier du temps dans les équations de la mécanique est de ne pas durer. Le temps abstrait t attribué par la science
Et avec quoi vous battrez-vous? L'enfant montra au jeune mathématicien le compas avec lequel il venait de faire ses équations. Oh! mon enfant, dit Bonaparte, c'est une bien mauvaise blessure que celle d'un compas. Tant mieux, répliqua Louis, je le tuerai. Et, s'il te tue, toi? J'aime mieux cela que de garder son soufflet.
Ne considérant maintenant que ces équations algébriques, il faut observer d'abord que, quoiqu'elles puissent souvent contenir des fonctions irrationnelles des inconnues aussi bien que des fonctions rationnelles; on peut toujours, par des transformations plus ou moins faciles, faire rentrer le premier cas dans le second; en sorte que c'est de ce dernier que les analystes ont dû s'occuper uniquement, pour résoudre toutes les équations algébriques.
Enfin, plusieurs autres questions, dont le nombre est aussi fort petit, mais dont l'importance n'est pas moins grande, présentent un second cas d'exception, qui est, par sa nature, exactement l'inverse du précédent. Ce sont celles où les équations différentielles se trouvent être immédiatement propres
Afin de compléter cette correspondance fondamentale et nécessaire entre le point de vue géométrique et le point de vue analytique, Monge a considéré en outre les équations finies qui sont les intégrales de ces équations différentielles, et qu'on peut d'ailleurs presque toujours facilement obtenir aussi par des recherches directes. Chacune de ces équations finies doit, comme on le sait par la théorie générale de l'intégration, contenir une fonction arbitraire, si l'équation différentielle est seulement du premier ordre; ce qui n'empêche pas que de telles équations, quoique beaucoup plus générales que celles dont on s'occupe ordinairement, ne présentent un sens nettement déterminé, soit sous le rapport géométrique, soit sous le simple rapport analytique. Cette fonction arbitraire correspond
En résultat de ce qui précède, le calcul des fonctions, ou l'algèbre, en prenant ce mot dans sa plus grande extension, se compose de deux branches fondamentales distinctes, dont l'une a pour objet immédiat la résolution des équations, lorsque celles-ci sont immédiatement établies entre les grandeurs mêmes que l'on considère; et dont l'autre, partant d'équations, beaucoup plus aisées
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