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Aktualisiert: 14. Juni 2025
Diese Gegenstände sind also im allgemeinen: Religionsunterricht, deutsche Sprache nebst Bekanntmachung mit den vaterländischen Klassikern, Arithmetik, späterhin Algebra, Geometrie, Geographie, Geschichte, Physiographie, welche die Kosmographie, Naturgeschichte und Physik in sich begreift, philosophische Vorbereitungswissenschaften; ferner französische, auch für die künftigen Theologen hebräische Sprache, Zeichnen und Kalligraphie.
Daß diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der größten Bedeutung für den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, wurde in glänzender Weise durch die schönen Untersuchungen meines lieben Freundes Segre gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhängen.
Wie verhielt es sich aber, wenn ich in der Arithmetik oder Geometrie irgend etwas ganz Einfaches und Leichtfaßliches betrachtete, wie z.
Die Theorie dieser Systeme ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder, von Sturm und Voß hervorgetreten, während Reye das Verdienst zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes zuerst, doch in einer anderen Weise die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flächen zweiter Ordnung und zweiter Klasse erweitert zu haben. Geometrie der Geraden.
Dagegen sind die evidenten Sätze der Zahlverhältnis zwar allerdings synthetisch, aber nicht allgemein, wie die der Geometrie, und eben um deswillen auch nicht Axiome, sondern können Zahlformeln genannt werden. Daß 7+5=12 sei, ist kein analytischer Satz. Ob er aber gleich synthetisch ist, so ist er doch nur ein einzelner Satz.
Das Wort: es solle kein mit der Geometrie Unbekannter, der Geometrie Fremder in die Schule des Philosophen treten, heißt nicht etwa, man solle ein Mathematiker sein, um ein Weltweiser zu werden. Geometrie ist hier in ihren ersten Elementen gedacht, wie sie uns im Euklid vorliegt und wie wir sie einen jeden Anfänger beginnen lassen.
Aber Bewegung, als Beschreibung eines Raumes, ist ein reiner Aktus der sukzessiven Synthesis des Mannigfaltigen in der äußeren Anschauung überhaupt durch produktive Einbildungskraft, und gehört nicht allein zur Geometrie, sondern sogar zur Transzendentalphilosophie. Ich sehe nicht, wie man so viel Schwierigkeiten darin finden könne, daß der innere Sinn von uns selbst affiziert werde.
Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhnliche Geometrie nicht nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen Methoden und die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter Mannigfaltigkeiten unter sich begreift.
Kurz nach der Veröffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von F. Klein, die auch von großer Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie einnimmt, muß ich mich einige Jahrzehnte rückwärts wenden.
Sollten vielleicht die unermüdlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gründlich durchwühlt haben, daß sie keine goldführende Ader mehr bergen? Geometrie von n Dimensionen.
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