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Aktualisiert: 3. Juni 2025
Dadurch sind Punct, Curve, Fläche gemeinsam characterisirt, und so müssen sie auch, wenn man die Gruppe der Berührungstransformationen zu Grunde legen will, analytisch repräsentirt werden. Die vereinigte Lage consecutiver Elemente ist eine bei beliebiger Berührungstransformation invariante Beziehung.
Man bezeichne als vereinigte Lage zweier consecutiven Flächenelemente x, y, z, p, q und x+dx, y+dy, z+dz, p+dp, q+dq die Beziehung, welche durch dz pdx qdy = 0 dargestellt wird. So sind Punct, Curve, Fläche übereinstimmend zweifach unendliche Mannigfaltigkeiten von Elementen, deren jedes mit den einfach unendlich vielen ihm benachbarten vereinigt liegt.
Die Parallele zwischen dieser Geometrie der reciproken Radien und der projectivischen ergibt sich, sowie einmal die Frage nach einem Vergleiche vorhanden ist, von selbst, und es mag daher nur ganz im Allgemeinen auf die folgenden Puncte aufmerksam gemacht werden: In der projectivischen Geometrie sind Punct, Gerade, Ebene die Elementar-Begriffe.
Dieses Gefühl ist gleichsam der Punct, in welchem die vernünftige und die sinnliche Natur endlicher Wesen innig zusammenfließen. Um das höchst möglichste Licht über unsern weitern Weg zu verbreiten, wollen wir hier noch über dieses wichtige Gefühl, den Momenten des Urtheilens nach, reflectiren.
Kreis und Kugel sind nur specielle Fälle von Kegelschnitt und Fläche zweiten Grades. Das unendlich Ferne der elementaren Geometrie erscheint als Ebene; das Fundamentalgebilde, auf welches sich die elementare Geometrie bezieht, ist ein unendlich ferner, imaginärer Kegelschnitt. In der Geometrie der reciproken Radien sind Punct, Kreis und Kugel die Elementarbegriffe.
Gerade und Ebene sind specielle Fälle der letzteren, dadurch charakterisirt, dass sie einen, im Sinne der Methode übrigens nicht weiter ausgezeichneten Punct, den unendlich fernen Punct enthalten. Die elementare Geometrie erwächst, so wie man diesen Punct fest denkt.
Bei diesem Standpuncte muss man Punct, Curve, Fläche gleichmässig als Aggregate von Flächenelementen auffassen, und zwar von zweifach unendlich vielen. Denn die Fläche wird von ∞^2 Elementen bedeckt, die Curve von ebenso vielen berührt, durch den Punct gehen ∞^2 hindurch. Aber diese zweifach unendlichen Aggregate von Elementen haben noch eine characteristische Eigenschaft gemein.
Wir werden den Inhalt aller unsrer Klagen, sobald es die Zeit erheischen wird, Punct für Punct bekannt machen; Klagen, die wir dem König schon vor langer Zeit vorgelegt haben, ohne daß wir durch unser inständiges Bitten erhalten konnten, nur angehört zu werden.
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