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Aktualisiert: 6. Mai 2025
Wenn so das äußerliche Quantum in arithmetischer Progression sich verändert, so bringt die specificirende Reaktion der qualitativen Natur des Maaßes eine andere Reihe hervor, welche sich auf die erste bezieht, init ihr zu- und abnimmt, aber nicht in einem durch einen Zahlexponenten bestimmten, sondern einer Zahl inkommensurabeln Verhältnisse, nach einer Potenzenbestimmung. Anmerkung.
Wenn es dagegen an den drei ersten Maitagen reichlich thauet, so braucht es den ganzen Monat über keinen mehr. Maienthau macht grüne Au. Oder, der Bauer rechnet auch in arithmetischer Progression also: Thaut es im Mai fünfmal, so erwartet man eine Viertelsernte; zehnmal, so giebts eine halbe; fünfzehnmal, so giebts eine volle Ernte. Thau auf der Wiese ist Geld in der Truhe.
Wenn sie sich z.B. als Wurzel und Quadrat verhalten, ist es gleichviel, an welcher die Vermehrung oder Verminderung als bloß äußerlich, in arithmetischer Progression fortgehend, und welche dagegen an diesem Quantum sich specifisch bestimmend angesehen wird.
Malthus stellte, sich anlehnend an ältere Schriftsteller, bekanntlich die Theorie auf, daß die Menschheit die Tendenz habe, sich in geometrischer Progression, also in dem Zahlenverhältniß 1, 2, 4, 8, 16, 32 u.s.w. zu vermehren, dagegen die Nahrungsmittel die Tendenz hätten, sich in arithmetischer Progression zu vermehren 1, 2, 3, 4, 5 u.s.w.
Das andere, die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die Proportion daher ganz nur von dem Verhältniß des einen bestimmenden Moments abhängig.
In ihrem Maaßverhältniß als Größebestimmtheiten zunächst überhaupt genommen, ist die eine davon Anzahl, die in äußerlicher, arithmetischer Progression auf- und abgeht, die andere eine Anzahl, die durch jene, welche Einheit für sie ist, specifisch bestimmt wird.
G.: »Im Construiren von Linien nach Maassgabe der aus den Voraussetzungen zu ziehenden Schlüsse hat mich keiner je übertroffen, selbst nicht die sogenannten Harpedonapten der Aegypter«; und *Theon* von *Smyrna* erzählt, dass »Babylonier, Chaldäer und Aegypter eifrig nach allerhand Grundgesetzen und Hypothesen suchten, durch welche den Erscheinungen genügt werden könnte; zu erreichen suchten sie dies dadurch, dass sie das früher Gefundene in Ueberlegung zogen, und über die zukünftigen Erscheinungen Vermuthungen aufstellten, wobei die Einen sich arithmetischer Methoden bedienten, wie die Chaldäer, die Anderen construirender wie die Aegypter«.
Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung ein Übergang in eine höhere Dimension, die arithmetische Multiplikation von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind, zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4 lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in beiden als diskreten Größen dieselbe ist.
Breitegrad in arithmetischer Progression herab, was den Beobachtungen widerspricht, so finge der ewige Schnee unter der Breite des Pic erst bei 2050 Toisen über der Meeresfläche an, somit 550 Toisen höher als in den Pyrenäen und in der Schweiz. Dieses Ergebniß wird noch durch andere Beobachtungen unterstützt.
Die nächsten 15 Beispiele gehören der sogenannten *Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten *Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehörige Beispiele belehren uns darüber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war.
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