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Mis à jour: 18 mai 2025
La division fondamentale du calcul intégral est fondée sur le même principe que celle ci-dessus exposée pour le calcul différentiel, en distinguant l'intégration des formules différentielles explicites, et l'intégration des différentielles implicites, ou des équations différentielles. La séparation de ces deux cas est même bien plus profonde relativement
D'après les diverses considérations indiquées ci-dessus sur l'enchaînement rationnel des différentes parties principales du calcul intégral, on voit que l'intégration des formules différentielles explicites du premier ordre
La considération que je viens d'indiquer pour les équations différentielles les plus simples aurait évidemment encore plus d'importance pour celles des ordres supérieurs ou qui contiendraient simultanément diverses fonctions de plusieurs variables indépendantes. Ainsi, l'intégration des différentielles qui ne sont déterminées qu'implicitement constitue par sa nature, et, sans aucun égard
Pour saisir, d'une manière générale, l'esprit des divers procédés d'après lesquels on procède aux quadratures, nous devons reconnaître d'ailleurs que, par leur nature, ils ne peuvent être fondés primitivement que sur la différentiation des dix fonctions simples, dont les résultats, considérés sous le point de vue inverse, établissent autant de théorèmes immédiats de calcul intégral, les seuls qui puissent être connus directement, tout l'art de l'intégration consistant ensuite, comme je l'ai exprimé en commençant cette leçon,
En effet, l'intégration mécanique ou physique des corps se peut noter ainsi: x, y, z s'agrègent pour devenir x + y + z. Le philosophe définit ce changement comme le passage de [p.169] l'hétérogene
M. Spencer se voit lui-même obligé d'admettre deux évolutions ou deux redistributions de la matière, l'une primaire et l'autre secondaire. L'intégration et la différenciation s'opposent comme deux concepts qui reflètent simplement la distinction entre l'inerte et le vivant, la matière et l'idée.
Tandis qu'on admet que le vieillard n'a pas besoin d'un long sommeil, et que le contraire est généralement chez lui un signe de maladie, tout le monde s'accorde pour reconnaître que l'enfant doit dormir longtemps, et d'autant plus longtemps qu'il est plus jeune; car c'est pendant le sommeil que se fait l'intégration des tissus et des organes, qui n'est possible que dans les périodes de repos des fonctions.
L'une et l'autre relèvent, mais en y ajoutant des caractères spéciaux et plus complexes, des lois les plus générales de l'univers, la persistance de la force, l'intégration et la désintégration incessantes de la matière et du mouvement, en un mot de l'évolution et de la dissolution continues de toutes les formes existantes.
[Note 16: Le seul cas important de ce genre qui ait été complétement traité jusqu'ici, est l'intégration générale des équations linéaires d'un ordre quelconque,
Afin de compléter cette correspondance fondamentale et nécessaire entre le point de vue géométrique et le point de vue analytique, Monge a considéré en outre les équations finies qui sont les intégrales de ces équations différentielles, et qu'on peut d'ailleurs presque toujours facilement obtenir aussi par des recherches directes. Chacune de ces équations finies doit, comme on le sait par la théorie générale de l'intégration, contenir une fonction arbitraire, si l'équation différentielle est seulement du premier ordre; ce qui n'empêche pas que de telles équations, quoique beaucoup plus générales que celles dont on s'occupe ordinairement, ne présentent un sens nettement déterminé, soit sous le rapport géométrique, soit sous le simple rapport analytique. Cette fonction arbitraire correspond
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