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Aktualisiert: 19. Juni 2025
So beschließt er auch das zweite, nachdem er vorher die mit größerer Ungleichheit behafteten, nicht rechtwinklichten Dreiecke auf das Gleichförmige zurückgeführt hat, mit der Reduktion des Rektangels auf das Quadrat, einer Gleichung zwischen dem sich selbst Gleichen, dem Quadrat, mit dem in sich Ungleichen, dem Rechteck; so macht die Hypotenuse, die dem rechten Winkel, dem sich selbst Gleichen entspricht, im pythagoräischen Lehrsatze die eine Seite der Gleichung aus, und die andere das sich Ungleiche, nämlich die zwei Katheten.
Was die mathematischen Wahrheiten betrifft, so würde noch weniger der für einen Geometer gehalten werden, der die Theoreme Euklids auswendig wüßte, ohne ihre Beweise, ohne sie, wie man im Gegensatze sich ausdrücken könne, inwendig zu wissen. Ebenso würde die Kenntnis, die einer durch Messung vieler rechtwinklichten Dreiecke sich erwürbe, daß ihre Seiten das bekannte Verhältnis zueinander haben, für unbefriedigend gehalten werden. Die Wesentlichkeit des Beweises hat jedoch auch beim mathematischen Erkennen noch nicht die Bedeutung und Natur, Moment des Resultates selbst zu sein, sondern in diesem ist er vielmehr vorbei und verschwunden. Als Resultat ist zwar das Theorem ein als wahr eingesehenes. Aber dieser hinzugekommene Umstand betrifft nicht seinen Inhalt, sondern nur das Verhältnis zum Subjekt; die Bewegung des mathematischen Beweises gehört nicht dem an, was Gegenstand ist, sondern ist ein der Sache äußerliches Tun. So zerlegt sich die Natur des rechtwinklichten Dreiecks nicht selbst so, wie es in der Konstruktion dargestellt wird, die für den Beweis des Satzes, der sein Verhältnis ausdrückt, nötig ist; das ganze Hervorbringen des Resultats ist ein Gang und Mittel des Erkennens. Auch im philosophischen Erkennen ist das Werden des Daseins als Daseins verschieden von dem Werden des Wesens oder der innern Natur der Sache. Aber das philosophische Erkennen enthält erstens beides, da hingegen das mathematische nur das Werden des Daseins, d.h. des Seins der Natur der Sache im Erkennen als solchem darstellt. Fürs andre vereinigt jenes auch diese beiden besondern Bewegungen. Das innre Entstehen oder das Werden der Substanz ist ungetrennt Übergehen in das
Auf solche Fragen: wann Cäsar geboren worden, wie viele Toisen ein Stadium und welches betrug u.s.f., soll eine nette Antwort gegeben werden, ebenso wie es bestimmt wahr ist, daß das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden übrigen Seiten des rechtwinklichten Dreiecks ist.
Tacquet wende gegen die Methode der Untheilbaren ein, daß wenn die Oberfläche eines rechtwinklichten Kegels berechnet werden solle, so werde nach jener atomistischen Methode das Dreieck des Kegels als zusammengesetzt aus den geraden, mit der Grundlinie parallelen auf die Achse senkrechten Linien vorgestellt, welche zugleich die Radien der Kreise sind, aus denen die Oberfläche des Kegels bestehe.
Er legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht seyn soll, dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Theil der Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die Subnormale, gebildet wird.
Dieser Satz ist daher die vollkommene, reelle Definition des Dreiecks, nämlich zunächst des rechtwinklichten, des in seinen Unterschieden einfachsten und daher regelmäßigsten. Euklid schließt mit diesem Satze das erste Buch, indem er in der That eine erreichte vollkommene Bestimmtheit ist.
Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed's Kreismessung verstehe, drückt dieß auf eine einfache Weise aus. Der erste Satz Archimed's ist bekanntlich, daß der Kreis einem rechtwinklichten Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist.
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