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Aktualisiert: 22. Juni 2025
Math. phil. nat. Lib. II. Lemma II. Propos. Er findet das Differential des Produkts, woraus sich dann die Differentialien der Quotienten, Potenzen u.s.f. leicht herleiten, auf folgende Art.
Alles ging gut: er fing hierauf an, statt der verdrüßlichen Lehre von Potenzen und Exponenten, ein Kollegium über die Moral und eines über das Jus Naturae zu lesen, das ihm gar kein Kopfbrechen kostete, und ungemein gut von der Lunge ging.
Die Potenz ist oben als die Zahl angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, daß ihre Veränderung durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat, formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen.
Im Klange z.B. ist die Zeit, in welcher eine Anzahl der Schwingungen erfolgt, das Räumliche der Länge, Dicke, des schwingenden Körpers, unter den Bestimmungsmomenten; aber die Größen jener ideellen Momente sind äußerlich bestimmt, sie zeigen sich nicht mehr in einem Potenzen-, sondern in gewöhnlichem direkten Verhältnisse gegeneinander, und das Harmonische reducirt sich auf die ganz äußerliche Einfachheit von Zahlen, deren Verhältnisse sich am leichtesten auffassen lassen, und damit eine Befriedigung gewähren, die ganz der Empfindung anheimfällt, da für den Geist keine Vorstellung, Phantasiebild, Gedanke und dergleichen ihn Erfüllendes vorhanden ist.
So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von veränderlichen, kontinuirlichen oder unendlichen Größen und dergleichen, oder auch nur von Funktionen uberhaupt, so ist sie noch zu allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu thun; schon das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen.
Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen, wieder aus Decimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen, darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die Anzahl constituiren; wie auch eine aus mehreren Ziffern bestehende ganze Zahl des Decimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der Zahl Zehen und deren Potenzen besteht.
Ein nach einem logisch gebildetem Urtheile fortschreitender Unterricht handelt die Lehre von den Potenzen vor der Lehre über die Proportionen ab; diese schließen sich zwar an den Unterschied von Einheit und Anzahl an, der die Bestimmung der zweiten Rechnungsart ausmacht, aber sie treten aus dem Eins des unmittelbaren Quantums, in welchem Einheit und Anzahl nur Momente sind, heraus; die Fortbestimmung nach demselben bleibt ihm selbst auch noch äußerlich.
Wenn Zahlen, Potenzen, das Mathematisch-Unendliche und dergleichen nicht als Symbole, sondern als Formen für philosophische Bestimmungen, und damit selbst als philosophische Formen sollen gebraucht werden, so müßte vor Allem ihre philosophische Bedeutung, d. i. ihre Begriffsbestimmtheit aufgezeigt werden.
Doch diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen; es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, daß nachdem die veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so daß diese Bestimmtheit ein Verhältniß von Potenzen enthält, gegeben sind, nun auch die Funktionen der Potenzirung einer jeden mit einander verglichen werden, welche zweiten Funktionen durch gar nichts Anderes weiter als durch die Potenzirung selbst bestimmt sind.
Das Eigenthümliche nun aber, wodurch die Betrachtung der veränderlichen Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen, daß wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre specifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, daß sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind.
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