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Platon hatte bekanntlich ausreichende mathematische Kenntnisse als die Voraussetzung für die Zulassung zur Akademie erklärt. Heute würden die Hüter der Wissenschaften Logik, bzw. die Beherrschung von künstlichen Sprachen wie etwa Programmiersprachen, fordern, wobei diese ja selbst wiederum ständig optimiert, differenziert und durch Erwartung einer erhöhten computationalen Effizienz verändert werden. Zur Zeit des "Redners" Sokrates galt die Sprache als Grundlage und Konstituens von Städten, Gesetzen und Künsten. Zur Zeit des römischen Dichters Lukrez wurde Physik in Versen abgefaßt (7000 Hexameter legten die epikureische Atomtheorie dar). Galilei bevorzugte den Dialog in seiner italienischen Umgangssprache, damit seine Zeitgenossen die Entdeckungen der Physik und Astronomie verstehen konnten. Bei Newton wurde die Sprache durch Formeln und Gleichungen ersetzt, die seitdem das Vokabular der Physik ausmachten.
Die Bewegung ferner, als an der das Größenverhältniß des durchloffenen Raumes und der dazu gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig beschleunigten und gleichförmig retardirten, in sich zurückkehrenden Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem Größenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfniß seyn kann, eine Art der Bewegung oder auch der Raumgrößen, an welche eine Art gebunden ist, aus einer anderen Art derselben zu bestimmen, führt die Operation gleichfalls das Übergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern oder medrigern herbei.
Der Übergang von der Grundgleichung, welche die Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun den angegebenen Übergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältniß ist, und zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien.
Nun macht Descartes die Reflexion, daß wenn der auf der Kurve angenommene Punkt als Durchschnittspunkt derselben und eines Kreises vorgestellt wird, dieser Kreis die Kurve noch in einem anderen Punkte schneiden wird, und alsdenn sich für die zwei damit entstehenden und ungleichen x, zwei Gleichungen mit denselben Konstanten und von derselben Form ergeben; oder aber nur Eine Gleichung mit ungleichen Werthen von x.
Ein anderes Hauptgebiet, in welchem von dem Differentialkalkul Gebrauch gemacht wird, ist die Mechanik; von den unterschiedenen Potenzen-Funktionen, die sich bei den elementarischen Gleichungen ihres Gegenstandes, der Bewegung ergeben, sind deren Bedeutungen bereits beiläufig erwähnt; ich will dieselben hier direkt aufnehmen.
So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von veränderlichen, kontinuirlichen oder unendlichen Größen und dergleichen, oder auch nur von Funktionen uberhaupt, so ist sie noch zu allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu thun; schon das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen.
Wir wollen noch bemerken, daß zwischen den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen.
Hiermit entsteht auch das Bedürfniß, von einer höheren Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem z.B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f. oder umgekehrt abgeleitet werden sollen.
Folgen von der Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Koordinaten zusammenhängenden anderen geraden Linien, der Tangente, Subtangente, Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den Koordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Theile diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden Linien.
Sie brauchen nur statt Ihrer zwei Koordinaten in der Ebene drei Koordinaten als Rechnungsgrößen einzuführen und können das Lot auf der Ebene durch Gleichungen in diesen drei Koordinaten beschreiben, von denen Sie sich allerdings nur zwei richtig vorstellen können.