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Mis à jour: 20 mai 2025
SOMMAIRE. Vue générale de la géométrie. D'après l'explication générale présentée dans la troisième leçon relativement au caractère philosophique de la mathématique concrète, comparé
Quand on parle d'une manière concrète, et quand on dit faire des expériences ou faire des observations, cela signifie qu'on se livre
Dans la transmission des offres et demandes de marchandises, dans l'intervention des signes fiduciaires des échanges et dans la circulation de ces signes, il y a toujours un rapport entre la marchandise totale transportée, l'offre et la demande transmises, la monnaie circulante et l'agent de ce transport, de cette transmission et de cette circulation. Ce rapport dans l'espèce est représenté par les frais d'expédition et de commission, par le coût de l'instrument monétaire, par l'usure, par l'intérêt. Loi statique aussi certaine, rapport aussi nécessaire que dans le premier exemple de circulation simple donné plus haut. Même loi dynamique, abstraite ou concrète, suivant qu'on la formule pour une société particulière ou pour toutes les civilisations quelconques: partout et toujours le progrès de la circulation économique s'opère dans le sens de la substitution d'une marchandise spéciale comme monnaie,
Le contraste entre la représentation abstraite par les Grecs de l'idée de la mort et la réalisation concrète, par les Romains, des individus défunts, est extrêmement curieux. Outre les pierres funéraires, la nouvelle salle de Sculpture contient de très charmants spécimens de l'art décoratif romain sous les Empereurs.
En présentant cette comparaison sous un nouveau point de vue, on peut dire que la mathématique concrète a un caractère philosophique essentiellement expérimental, physique, phénoménal; tandis que celui de la mathématique abstraite est purement logique, rationnel. Ce n'est pas ici le lieu de discuter exactement les procédés qu'emploie l'esprit humain pour découvrir les lois mathématiques des phénomènes. Mais, soit que l'observation précise suggère elle-même la loi, soit, comme il arrive plus souvent, qu'elle ne fasse que confirmer la loi construite par le raisonnement d'après les faits les plus communs; toujours est-il certain que cette loi n'est envisagée comme réelle qu'autant qu'elle se montre d'accord avec les résultats de l'expérience directe. Ainsi, la partie concrète de toute question mathématique est nécessairement fondée sur la considération du monde extérieur, et ne saurait jamais, quelle qu'y puisse être la part du raisonnement, se résoudre par une simple suite de combinaisons intellectuelles. La partie abstraite, au contraire, quand elle a été d'abord bien exactement séparée, ne peut consister que dans une série de déductions rationnelles plus ou moins prolongée. Car, si l'on a une fois trouvé les équations d'un phénomène, la détermination des unes par les autres des quantités qu'on y considère, quelques difficultés d'ailleurs qu'elle puisse souvent offrir, est uniquement du ressort du raisonnement. C'est
Ou, pour reprendre notre exemple, si le mal abstrait et le bien abstrait s'identifient d'une façon générale, cela vient de ce que le mal n'est jamais, dans la réalité concrète, qu'un degré inférieur du bien.
Si maintenant, au lieu de formuler cette loi d'une façon abstraite, nous la formulons en spécifiant les corps particuliers qui sont les conditions déterminantes du phénomène: un fardeau d'une certaine espèce, une voiture d'un certain genre, une route ou des rails et des canaux, si en un mot nous incorporons les conditions du phénomène lui-même dans des objets spécifiés, la loi dégagée ne sera plus abstraite, mais concrète.
Toute œuvre d'art doit éclore sous la lumière personnelle de la sensibilité, pour se consommer dans la lumière impersonnelle de la raison. L'art, c'est la réalité concrète et sensible fécondée jusqu'au beau par cette autre réalité, abstraite et intelligible, que l'artiste porte en lui-même et qui est son idéal, c'est-
Mais, Ariste, je vous ai assez fait voir, et sous divers aspects, que l'abstrait dans les mots n'est qu'un moindre concret. Le concret, aminci et exténué, est encore le concret. Il ne faut pas tomber dans le travers de ces femmes qui, parce qu'elles sont maigres, veulent passer pour de purs esprits. Vous imitez les enfants qui d'une branche de sureau ne gardent que la moelle pour en faire des marmousets. Ces marmousets sont légers, mais ce sont des marmousets de sureau. De même, vos termes qu'on dit abstraits, sont seulement devenus moins concrets. Et si vous les tenez pour absolument abstraits et tout tirés hors de leur propre et véritable nature, c'est pure convention. Mais, si les idées que représentent ces mots ne sont pas, elles, des conventions pures; si elles sont réalisées autre part qu'en vous-même, si elles existent dans l'absolu, ou en tout autre imaginaire lieu qu'il vous plaira désigner, si elles «sont» enfin, elles ne peuvent être énoncées, elles demeurent ineffables. Les dire, c'est les nier; les exprimer, c'est les détruire. Car, le mot concret étant le signe de l'idée abstraite, celle-ci, aussitôt signifiée, devient concrète, et voil
Dans cet exemple, la question concrète est plus difficile que la question abstraite. Ce serait l'inverse, si l'on considérait le même phénomène dans sa plus grande généralité, tel que je l'ai envisagé plus haut pour un autre motif. Suivant les cas, ce sera tantôt la première, tantôt la seconde de ces deux parties qui constituera la principale difficulté de la question totale; la loi mathématique du phénomène pouvant être très-simple, mais difficile
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