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Aktualisiert: 1. Juni 2025
Was jene Lehrsätze daher thun, ist eigentlich dieß, daß sie das sinnliche Dreieck, das allerdings dreier Seiten und dreier Winkel bedarf, auf die einfachsten Bedingungen reduciren; die Definition hatte nur der drei Linien überhaupt erwähnt, welche die ebene Figur einschließen und zu einem Dreieck machen; ein Lehrsatz enthält erst ausdrücklich das Bestimmtseyn der Winkel durch das Bestimmtseyn der Seiten, so wie die übrigen Lehrsätze die Abhängigkeit anderer dreier Stücke von dreien solchen Stücken.
Er heißt aber Grundsatz und nicht Lehrsatz, ob er gleich bewiesen werden muß, darum, weil er die besondere Eigenschaft hat, daß er seinen Beweisgrund, nämlich Erfahrung, selbst zuerst möglich macht, und bei dieser immer vorausgesetzt werden muß.
Die völlige Bestimmtheit aber der Größe des Dreiecks nach seinen Seiten in sich selbst enthält der pythagoräische Lehrsatz; dieser ist erst die Gleichung der Seiten des Dreiecks, da die vorhergehenden Seiten es nur im Allgemeinen zu einer Bestimmtheit seiner Stücke gegeneinander, nicht zu einer Gleichung bringen.
Z.B. in Wolf's Anfangsgründen der Baukunst heißt der achte Lehrsatz: Ein Fenster muß so breit seyn, daß zwei Personen gemächlich neben einander in demselben liegen können.Beweis: Denn man pflegt sich öfters mit einer andern Person an das Fenster zu legen, und sich umzusehen. Diejenigen aber, welche die Festung entsetzen wollen, verlangen in das Lager von Außen hineinzudringen.
Der anlytische Lehrsatz enthält die Aufgabe schon für sich selbst als gelöst, und der ganz äußerliche Unterschied, der den beiden Seiten, die er gleich setzt, zukommt, ist so unwesentlich, daß ein solcher Lehrsatz als eine triviale Identität erscheinen würde.
Zunächst ist von jeher an der euklidischen Geometrie, welche als Repräsentant der synthetischen Methode, wovon sie das vollkommenste Muster liefert, als Beispiel dienen soll, die Anordnung in der Folge der Lehrsätze angerühmt worden, wodurch für jeden Lehrsatz diejenigen Sätze, die zu seiner Konstruktion und Beweis erforderlich sind, sich immer schon als früher bewiesen vorfinden.
Die vermittelnden Glieder hängen mit den zu vermittelnden zusammen; aber indem es nicht der Begriff ist, aus welchem die Vermittelung und der Lehrsatz in diesem Erkennen zurückgeführt wird, dem überhaupt der Übergang ins Entgegengesetzte fremd ist, so müssen die vermittelnden Bestimmungen, ohne den Begriff des Zusammenhangs, als ein vorläufiges Material zum Gerüste des Beweises irgendwoher herbeigebracht werden.
Die aesopische Fabel, in die Länge einer epischen Fabel ausgedehnet, höret auf, eine aesopische Fabel zu sein; aber nicht deswegen, weil man den Tieren, nachdem man ihnen Freiheit und Sprache erteilet hat, nicht auch eine Folge von Gedanken, dergleichen die Folge von Handlungen in der Epopee erfordern würde, erteilen dürfte, nicht deswegen, weil die Tiere alsdenn zu viel Menschliches haben würden: sondern deswegen, weil die Einheit des moralischen Lehrsatzes verlorengehen würde, weil man diesen Lehrsatz in der Fabel, deren Teile so gewaltsam auseinandergedehnet und mit fremden Teilen vermischt worden, nicht länger anschauend erkennen würde.
Er ist viel stärker, als die meisten annehmen, und namentlich stark gerade in den aufstrebenden Klassen der Gesellschaft. Welche theoretische Auffassung sie vor irgendeiner Frage haben, wenn sie ihnen auch nicht immer als Theorie, sondern nur als Doktrin, als Lehrsatz gepredigt worden ist, hat auf ihr Verhalten unter Umständen einen sehr großen Einfluß.
Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des 16. Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fülle bemerkenswerter Eigenschaften, wies auf die Perspektivität als eine für das Studium der Kegelschnitte sehr günstige Methode hin, bewies den berühmten Lehrsatz von dem »Hexagramma mysticum,« wie er es nannte, u. s. w.
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