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Aktualisiert: 16. Mai 2025
Hierbei steht dann bloß die quantitative Bestimmtheit vor dem Bewußtseyn, mit der nach ihrer Art ohne Schwierigkeit operirt wird, und man kann kein Arges daran haben, die Größe einer Linie mit der Größe einer andern Linie zu multipliciren; aber die Multiplikation dieser selben Größen giebt zugleich die qualitative Veränderung des Überganges von Linie in Fläche; insofern tritt eine negative Bestimmung ein; sie ist es, welche die Schwierigkeit veranlaßt, die durch die Einsicht in ihre Eigenthümlichkeit und in die einfache Natur der Sache gelöst, aber durch die Hilfe des Unendlichen, wodurch sie beseitigt werden soll, vielmehr nur in Verworrenheit gesetzt und ganz unaufgelöst erhalten wird.
Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müßte gezeigt werden können, daß in dem analytischen Verfahren selbst, welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der That schon ein Multipliciren enthalten ist.
Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung ein Übergang in eine höhere Dimension, die arithmetische Multiplikation von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind, zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4 lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in beiden als diskreten Größen dieselbe ist.
Es kann hiezu noch bemerkt werden, daß bei dem Außersichkommen der Fläche, was als ein Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Producirens so ergiebt, daß das Außersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit solcher, hiermit ein Product von vier Dimensionen gäbe, das aber durch die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird.
Dieß letzte Quantum ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines Kontinuirlichen, der Höhe. Es ist deutlich, daß was Summe heißt, zugleich ein ductus lineae in lineam, Multipliciren von Linearem mit Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist.
Wenn die Aufgabe zusammengesetztere Bestimmungen und Operationen, z.B. etwa Decimal-Zahlen zu multipliciren enthält, und die Auflösung giebt nichts, als das mechanische Verfahren an, so wird wohl ein Beweis nöthig; dieser aber kann weiter nichts seyn, als die Analyse jener Bestimmungen und der Operation, woraus die Auflösung von selbst hervorgeht.
Dagegen ist das, was Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße, es ist, ductus lineae in lineam, wie plani in planum genannt worden, es ist auch ductus puncti in lineam eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer Dimension; das Übergehen der Linie in Fläche ist als Außersichkommen derselben zu fassen, wie das Außersichkommen des Punktes die Linie, der Fläche ein ganzer Raum ist.
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