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Aktualisiert: 22. Juni 2025
Ihr gegenseitiges Verhältniss ist, sofern sich ihre Gruppen einschliessen, durch einen entsprechenden Satz bestimmt. Dasselbe gilt von den verschiedenen hier zu betrachtenden Behandlungsweisen mehrfach ausgedehnter Mannigfaltigkeiten.
Daß alle Mannigfaltigkeiten einzelner Dinge die Identität der Art nicht ausschließen; daß die mancherlei Arten nur als verschiedentliche Bestimmungen von wenigen Gattungen, diese aber von noch höheren Geschlechtern usw. behandelt werden müssen; daß also eine gewisse systematische Einheit aller möglichen empirischen Begriffe, sofern sie von höheren und allgemeineren abgeleitet werden können, gesucht werden müsse; ist eine Schulregel oder logisches Prinzip, ohne welches kein Gebrauch der Vernunft stattfände, weil wir nur sofern vom Allgemeinen aufs Besondere schließen können, als allgemeine Eigenschaften der Dinge zum Grunde gelegt werden, unter denen die besonderen stehen.
Das letztere entspringt dadurch, daß man die zwei ersteren vereinigt, nachdem man, sowohl im Aufsteigen zu höheren Gattungen, als im Herabsteigen zu niederen Arten, den systematischen Zusammenhang in der Idee vollendet hat; denn alsdann sind alle Mannigfaltigkeiten untereinander verwandt, weil sie insgesamt durch alle Grade der erweiterten Bestimmung von einer einzigen obersten Gattung abstammen.
Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch ist.
»So« sagte Bohle, »haben Sie nun die Güte und introduciren Sie sich ebenfalls.« »Lieber Gott, das ist bald geschehen« lachte Hopfgarten »und ich komme mir, diesen Mannigfaltigkeiten gegenüber, hier ordentlich klein vor.
Nicht-Euklidische Geometrie. Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen habe, umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen Veranlassung gegeben haben und wunderbar zu sagen eine Zeit lang die Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine gewappnet gegen das andere«; heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und »Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder »Geometrie von n Dimensionen« nennt.
Nun ich alle diese Küsten und Vorgebirge, Golfe und Buchten, Inseln und Erdzungen, Felsen und Sandstreifen, buschige Hügel, sanfte Wälder, fruchtbare Felder, geschmückte Gärten, gepflegte Bäume, hängende Reben, Wolkenberge und immer heitere Ebenen, Klippen und Bänke und das alles umgebende Meer mit so vielen Abwechselungen und Mannigfaltigkeiten vor mir habe nun ist mir erst die Odyssee ein lebendiges Wort."
Daß alle Mannigfaltigkeiten einzelner Dinge die Identität der Art nicht ausschließen; daß die mancherlei Arten nur als verschiedentliche Bestimmungen von wenigen Gattungen, diese aber von noch höheren Geschlechtern usw. behandelt werden müssen; daß also eine gewisse systematische Einheit aller möglichen empirischen Begriffe, sofern sie von höheren und allgemeineren abgeleitet werden können, gesucht werden müsse; ist eine Schulregel oder logisches Prinzip, ohne welches kein Gebrauch der Vernunft stattfände, weil wir nur sofern vom Allgemeinen aufs Besondere schließen können, als allgemeine Eigenschaften der Dinge zum Grunde gelegt werden, unter denen die besonderen stehen.
Dies ist das allgemeine Problem, welches die gewöhnliche Geometrie nicht nur, sondern namentlich auch die hier zu nennenden neueren geometrischen Methoden und die verschiedenen Behandlungsweisen beliebig ausgedehnter Mannigfaltigkeiten unter sich begreift.
Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstützung, welche die Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese anzuwenden gelehrt hat.
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