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Aktualisiert: 25. Juni 2025
Es würde die unstatthafte Vorstellung daraus folgen, daß es erlaubt sey, in dem letzten Verhältnisse etwa Abscisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus und was alles noch, einander gleich zu setzen.
Es ist also zweitens die Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien sind, welche in solchem Verhältnisse stehen? dieß aber ist es, was schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird, von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist, welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es zu thun ist.
Indem nämlich in diesem Kalkul sich ergeben, daß durch die erste Funktion der Gleichung einer Kurve das Verhältniß, welches ein lineares ist, erhalten worden, so weiß man damit auch, daß die Integration dieses Verhältnisses die Gleichung der Kurve im Verhältnisse der Abscisse und Ordinate giebt; oder wenn die Gleichung für die Ebene einer Kurve gegeben wäre, so würde die Differentialrechnung über die Bedeutung der ersten Funktion solcher Gleichung bereits gelehrt haben sollen, daß diese Funktion die Ordinate als Funktion der Abscisse, hiermit die Gleichung der Kurve darstellte.
Ebenso formirt sie aus den Unendlichkleinen des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abscisse ein rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich sey der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren Integration den Bogen als einen endlichen giebt.
Das Element der Ordinate, um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer anderen Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abscisse; das Princip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im Verhältnisse miteinander.
Indem nun ferner die erste Funktion der Kurvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Koordinate p der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben genommen werden, daß also der Punkt, in welchem jene als Tangente angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, daß diese zweite gerade Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h.
Aus der Entwicklung jener Bedingung, daß die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze und kleiner als die andere sey, wird dann z.B. hergeleitet, daß die Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion der Area ist.
Daß nun die als Tangente applicirte gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion determinirte gerade Linie zusammenfallen, daß die letztere also Tangente ist; dieß wird mit Zuhilfnahme des Increments i der Abscisse und des durch die Entwickelung der Funktion bestimmten Increments der Ordinate gezeigt.
Die Subtangente wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist.
Er legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht seyn soll, dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Theil der Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die Subnormale, gebildet wird.
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