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Ich knüpfe an den Zusammenhang an, der zwischen der reellen Ebene und der Kugelfläche durch stereographische Projection hergestellt wird. Wir setzten bereits in §.5 die Geometrie der Ebene mit der Geometrie auf einem Kegelschnitte in Verbindung, indem wir der Geraden der Ebene das Punctepaar zuordneten, in welchem sie den Kegelschnitt trifft.
Die erste Abbildung einer Oberfläche auf einer anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu können, verdanken wir Gauß, der 1827 in seinen berühmten Disquisitions generales circa superficies curvas es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte einer beliebigen Oberfläche den Punkten einer Kugelfläche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.
Unser Flächenwesen soll sich im Anschluß an seine Kugelfläche begrifflich einen dreifach ausgedehnten Raum konstruieren, der dieselben Eigenschaften hat wie seine Kugelfläche, in dem z. B. der Nicht-Euklidische Satz von der Winkelsumme allgemein gilt, und in dem alle geradesten Linien in sich zurücklaufen, also keine geraden Linien sind.
Bin ich aber doch so weit gekommen, zu wissen, daß die Erde eine Kugel und ihre Fläche eine Kugelfläche sei, so kann ich auch aus einem kleinen Teil derselben, z.B. der Größe eines Grades, den Durchmesser, und, durch diesen, die völlige Begrenzung der Erde, d.i. ihre Oberfläche, bestimmt und nach Prinzipien a priori erkennen; und ob ich gleich in Ansehung der Gegenstände, die diese Fläche enthalten mag, unwissend bin, so bin ich es doch nicht in Ansehung des Umfanges, der sie enthält, der Größe und Schranken derselben.
Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.
Aber die Kugelfläche, die Welt des Individuums, hat unmittelbar die zweideutige Bedeutung, an und für sich seiende Welt und Lage, und Welt des Individuums entweder insofern zu sein, als dieses mit ihr nur zusammengeflossen wäre, sie so, wie sie ist, in sich hineingehen lassen, und gegen sie sich nur als formelles Bewußtsein verhalten hätte; oder aber Welt des Individuums so zu sein, wie das Vorhandene von ihm verkehrt worden ist.
Bin ich aber doch so weit gekommen, zu wissen, daß die Erde eine Kugel und ihre Fläche eine Kugelfläche sei, so kann ich auch aus einem kleinen Teil derselben, z.B. der Größe eines Grades, den Durchmesser, und, durch diesen, die völlige Begrenzung der Erde, d.i. ihre Oberfläche, bestimmt und nach Prinzipien a priori erkennen; und ob ich gleich in Ansehung der Gegenstände, die diese Fläche enthalten mag, unwissend bin, so bin ich es doch nicht in Ansehung des Umfanges, der sie enthält, der Größe und Schranken derselben.