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Dieselben stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und führten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von eben demselben Postulate unabhängig ist.
Unser Flächenwesen soll sich im Anschluß an seine Kugelfläche begrifflich einen dreifach ausgedehnten Raum konstruieren, der dieselben Eigenschaften hat wie seine Kugelfläche, in dem z. B. der Nicht-Euklidische Satz von der Winkelsumme allgemein gilt, und in dem alle geradesten Linien in sich zurücklaufen, also keine geraden Linien sind.
Allerdings leuchtet dies wohl auf den ersten Blick nicht ganz ein, sondern sieht wie ein Sophisma aus. Ich bin nämlich gewohnt, in allen anderen Dingen die Existenz von der Wesenheit zu unterscheiden, und so komme ich leicht zu der Meinung, sie könne auch von der Wesenheit Gottes getrennt werden, sodaß man sich Gott auch als nicht-existierend denken könne. Sieht man aber genauer zu, so zeigt sich klar, daß die Existenz Gottes ebensowenig von seiner Wesenheit trennbar ist, wie vom Wesen des Dreiecks die Größe seiner Winkelsumme (= zwei Rechten), oder von der Vorstellung des Berges die Vorstellung eines Thals. Es ist also ebenso widersprechend, zu denken, Gott ( dem =vollkommensten= Wesen ) fehle die Existenz (d.